АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

размерность алгебры R над Z не выше и. Идеал R является локально разреши­ мым, Получаем, что образ идеала R (п) в кольце эндоморфизмов End р равен нулю, Следовательно, [ р , R (п>]=0. Переходя к прообразам в алгебре L получим [р, R n>] с W. Следовательно, [[р, R1"1], R(n)]=0. Получаем [р, Rr"rt>]=0. Из равенства R<n>=R<n' 1 следует равен­ ство [р, R'"J]=0. Следовательно р ддW, что противоречит определению р. Полу­ ченное противоречие завершает доказательство теоремы. Так как даже конечномерные полупервичные алгебры Ли не обязательно раскладываются в прямую сумму простых, соответствующее утверждение нельзя доказать и для обобщенно специальных алгебр Ли. Однако можно дока­ зать некоторый аналог конечномерности. Ю.А.Бахтурин показал, что артинова полупростая специальная алгебра Ли изоморфно вложима как кольцо Ли в ал­ гебру Ли, конечнопорожденную как модуль над подходящим коммутативным кольцом[4]. Эта теорема может быть доказана в следующей редакции. Теорема 2. Центральное замыкание артиновой полупервичной специаль­ ной алгебры Ли L является конечно порожденным модулем над центроидом Мартиндейла алгебры L. Для доказательства теоремы 2 нам потребуется лемма. Лемма 1. Пусть полупервичная специальная алгебра Ли L является под­ прямым произведение конечного числа первичных алгебр Ли. Тогда централь­ ное замыкание алгебры Ли L является конечно порожденным модулем над цен­ троидом Мартиндейла алгебры L. Лемма 1может быть доказана на основе идей из [11]. Доказательство теоремы 2. Из определения артиновости легко вывести, что каждый идеал / артиновой алгебры Ли содержит минимальный. Алгебра Ли, содержащая бесконечное множество минимальных идеалов, не является ар­ тиновой. Следовательно, артинова алгебра Ли содержит конечное число мини­ мальных идеалов. Хорошо известно, что такая алгебра Ли раскладывается в подпрямое про­ изведение конечного числа первичных алгебр Ли. Теперь теорема 2 следует из леммы. Ю.А.Бахтурин доказал и обратное к теореме 2 утверждение [4]. Если ар­ тинова алгебра Ли L изоморфно вложима как кольцо Ли в алгебру Ли L , ко­ нечномерную над подходящим коммутативным кольцом, то она является спе­ циальной алгеброй Ли. Из нильпотентности радикала Джекобсона артиновой ассоциативной ал­ гебры следует, что каждый ее локально нильпотентный идеал является нильпо- тентным. Как показывает следующий пример, для обобщенно специальных ал­ гебр Ли условия артиновости недостаточно для нильпотентности локально нильпотентного радикала. Пример. Пусть N - счетномерное векторное пространство с базисом eh е2, ... , е*,.... Рассмотрим линейное отображения a:N —>N. Пусть a(e/J-e^i,k > 1 и а(е/)=0. Обозначим через А алгебру Ли с базисом а и нулевым умножением. Пусть векторное пространство N является алгеброй Ли с нулевым умножением. 191