АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Структурная теория специальных алгебр Ли исследовалась в работах [2], Р1* [4], [5], [б],[7], [8] и других. Пусть L алгебра Ли, а е L. Через ad а обозначим линейное отображение ad a:L~* L, заданное формулой xad а=[х,а]. Обозначим через Ad L ассоциатив­ ную алгебру, порожденную в End L множеством /'ad а | a s L }. Так как нельзя рассчитывать построить хорошую структурную теорию для произвольных специальных алгебр Ли, следует выделить классы алгебр, для которых такая теория существует. Для ассоциативных алгебр существует хорошая теория для артиновых и нетеровых алгебр. По аналогии с ассоциативными алгебрами скажем, что алгебра Ли явля­ ется артиновой, если любая не пустая убывающая цепочка ее идеалов стабили­ зируется, Назовем алгебру Ли нетеровой, если в ней стабилизируется любая возрастающая цепочка идеалов. Отметим, что в отличие от ассоциативных алгебр, для которых рассмат­ риваются правые или левые идеалы, для алгебр Ли нет необходимости говорить об артиновости справа или слева. Следующая теорема легко переносится с ассоциативного случая. Теорема 1. Пусть L - артинова, обобщенно специальная алгебра Ли и R(L) - ее первичный радикал. Тогда идеал R(L) - разрешимый. Доказательство. Рассмотрим последовательность коммутантов алгебры R=R(L). r 'D= r pV>=[R<l>t '>=[&*, R rk>] , ... Тогда имеют место включения R0>s R a> о ... z>R<k> л?.... Хорошо известно [9], что все коммутанты Ra> являются вполне характеристическими подалгеб­ рами и, следовательно, идеалами алгебры L. Из артиновости алгебры Ли L следует, что р 1 т)=р1т~1' для некоторого на­ турального т. Мы хотим показать, что Л -0 для некоторого к. Пусть d степень полиномиального тождества выполненного, в алгебре Ad L, которое существует согласно [5]. Пусть п-тах(т, [d/2]2). Обозначим через W централизатор Rfn>, то есть W={x\x е L , [х, R(n>]= 0}. Множество W является идеалом. Если Wз R(n), то R<n 1/;=0 и теорема доказана. Приведем предположение о том, что W не содержит R1"', к противоречию. Рассмотрим фактор-алгебру L = UW. При естественном гомоморфизме L —> L идеал Rtn> переходит в R (Л1. Из предположения следует, что R <п>* 0. Из артиновости алгебры L получим, что R (п> содержит минимальный идеал р . Тогда либо [ р , R ]=0, либо идеал р неприводим как модуль. В послед­ нем случае алгебра Ли L порождает примитивную ассоциативную алгебру В в кольце End р , которая является гомоморфным образом алгебры Ad L. Соглас­ но теореме Капланского [10] алгебра В является центральной простой, конеч­ номерной над своим центром Z, размерности не выше [d/2f. Следовательно, 190