АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Определение 3. [1]. Пусть G- конечнопорожденная группа. X -конеч­ ное множество ее образующих и /, - словарная функция длины в G . Пусть Я - конечнопорожденная подгруппа группы G и у - множество образующих груп­ пы Н 'Л Iу- словарная функция длины Я . Будем говорить, что Я - квазивы- пукла в G , если существует d > 0, такое, что для любого h e Я имеем )<dix(h). Определение 4. Группа G обладает свойством Хаусона, если пересечение ее конечнопорожденных подгрупп есть конечнопорожденная подгруппа. Определение 5. Будем говорить, что группа G обладает свойством фи­ нитной отделимости, если для любой ее подгруппы Я и для любого g е G IЯ существует гомоморфизм ф на конечную группу ф(G), такой, что ф(#)еф(Я). В дальнейшем при доказательстве используется комбинаторная теорема Бествина [2], [3]. Теорема [2], [3]. Пусть G - гиперболическая конечнопорожденная группа и пусть а _ ,,а | :С —* G - мономорфизмы, такие, что подгруппы a_,(C),(X|(C) - квазивыпуклы в G . G * - есть ЯЯЯ-расширение G . G* =< G, = a , (с),с е С > Если существует действительное число Х>1 и целое М > 0, такие, что для произвольного р > 0 существует Я(р), такие, что всякий существенный аннулятор длины 2М +1 с шириной не более р и обхватом не менее Я(р) яв­ ляется /.-гиперболическим, тогда G* - гиперболическая группа. Теорема 2. Группа G * , имеющая непредставление (1), является гипербо­ лической. Рассмотрим ряд вспомогательных результатов. Определение [4]. Подгруппа Я группы G антинормальна в G , если для любого g e G \ H , g ~ ' H g f ) H = Е, Е - единичная группа. 19