АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Пример. Рассмотрим алгебру A=SL(2,F)Hu, где М- многообразие, порож­ денное алгеброй матриц порядка 2 * 2 над полем F. Для построения полугруппы Н рассмотрим счетную строго возрастаю­ щую цепочку подмножеств at cza 2 cr... с о , с -.... В качестве операции рассмот­ рим пересечение п . Алгебра Ли А является специальной. Скажем, что алгебра Ли артинова, если любая убывающая цепочка ее идеалов стабилизируется. Покажем, что ал­ гебра А - первичная, артинова алгебра. Пусть U произвольный идеал алгебры Ли А и о* я* + «„-/ а„.,+... +at ak,an..., ак eSL(2,F) -некоторый его элемент. Коммутируя его с элементами /5Ь/ и вычитая мы пока­ жем, что все элементы Ш/,а е SL(2,F),l <п лежат в U. Из этого следует артиновость алгебры Ли А. Первичность алгебры А следует из первичности алгебры SL(2,F) и того, что в полугруппе Н выполнено соотношение at ai=ahk < 1 . Мы построили пример специальной первичной артиновой бесконечно­ мерной алгебры Ли. Как известно, тензорное произведение алгебры Ли L на алгебру К являет­ ся алгеброй Ли, если К коммутативная ассоциативная алгебра. Строя определе­ ние аналогично определению косой полугрупповой алгебры Ли, можно опреде­ лить тензорное произведение специальных алгебр Ли, которое будет специаль­ ной алгеброй Ли. Литература 1. Латышев В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями// Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4. N 4. С. 821-829. 2. Бахтурин Ю.А. О строении /’/-оболочки конечномерной алгебры Ли// Изв. вузов. Матем. 1985. N 11, С. 60-62. 3. Пихтильков С.А. Косые полугрупповые кольца с тождеством // Вестник МГУ. 1980. N5, С. 27-31. 4. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы 1-111). М.: Мир, 1976. УДК 512.554.36 С. А. Пихтильков АРТИНОВЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Далее везде, где не оговорено отдельно, алгебры рассматриваются над полем F. В 1963 г. В.Н.Латышев определил специальную алгебру Ли {!]. Алгебра Ли L называется специальной алгеброй или ^/’/-алгеброй, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что L вложена в Ан как алгебра Ли, где Ан - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х,у]=ху~ух. 189