АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

многообразия М и <p(L) порождает В , существует продолжение ср : А В го­ моморфизма (р. Пусть P=P(UM(L)) - первичный радикал алгебры UM(L). Первичный ради­ кал ассоциативной /V-алгебры локально нильпотентен. Следовательно, Р nL = 0 и, алгебра Ли L вкладывается в алгебру fUM(L)/P)H. Алгебра UUL)lp=UM(L)/P является полупервичной универсальной обертывающей алгеб­ рой алгебры L из многообразия М. Это следует из универсального свойства ал­ гебры UM(L) и из того, что при эпиморфном отображении в полупервичную ал­ гебру образ первичного радикала равен нулю. Легко понять, что полупервичная универсальная обертывающая алгебра Uu(L)tp полупростой специальной алгеб­ ры Ли L из многообразия М единственна с точностью до изоморфизма. Пусть Я - полугруппа, а - гомоморфизм полугруппы Я в группу авто­ морфизмов АШ /г L алгебры Ли L. Из универсального свойства алгебры U>/L)5p следует, что для всех А е Я автоморфизм ofh) продолжается до гомоморфизма (Р (h) алгебры Us,(L),p. Легко понять, что гомоморфизм <р (h) является авто­ морфизмом алгебры U m (L),p- Пусть 7р : Я ->Autf(UM(L)sp) это отображение, про­ должающее отображение а. Пусть L полупростая специальная алгебра Ли. Рассмотрим косую полу- групповую ассоциативную алгебру D=(UM(L)sp) 9 Я. Скажем, что подалгебра Ли (L„H)M, порожденная в алгебре /У-'' подмножеством L иЯ, является косой по- лугрупповой алгеброй Ли из многообразия М. Следующая теорема распространяет предложение из работы [3] на случай косых полугрупповых алгебр Ли. Теорема 2. Пусть L - полупростая специальная алгебра Ли, имеющая /7-обертываюшую в многообразии М , Я - полугруппа, множество а(Н) - ко­ нечно и полугрупповая алгебра FH - /7-алгебра. Тогда косая полугрупповая ал­ гебра (LaH)\i является специальной алгеброй Ли. Доказательство. Как уже было отмечено выше, косая полугрупповая ал­ гебра (L„ Н)м вложена в косую полугрупповую ассоциативную алгебру D=(Uu(L)qJ-Н. Пусть В - множество первичных идеалов полупервичной ал­ гебры U m (L),p. Тогда f)P =0. Согласно предложению достаточно показать, что пв множество а (Н) удовлетворяет условию (*) относительно множества В. Легко понять, что множество о (Н) конечно. Тогда конечным будет образ а (Н) в группе автоморфизмов алгебры U^(L),/P, где РеВ - произвольный пер­ вичный идеал. Орбиты множества В под действием группы а (И) также будут конечными. Следовательно, множество а (И) удовлетворяет условию (♦) относитель­ но множества В, что и завершает доказательство теоремы. Как уже говорилось выше, если а отображает полугруппу Я в тождест­ венный автоморфизм алгебры (UM(L)sfJ „ Я, алгебра Ли (.LJH.)м является полу- групповой алгеброй Ли. Обозначим ее через (L Н)м. > 188