АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

многообразия М, если для любого гомоморфизма <р: L —>В1'1, где В произволь­ ная алгебра из многообразия М, существует продолжение <р : А —>В гомоморфизма (р. Для произвольной алгебры Ли L универсальная обертывающая алгебра из многообразия может не существовать. Например, если алгебра Ли L не является специальной. Для специальных алгебр Ли справедлива теорема. Теорема 1. Пусть L - специальная алгебра Ли и А ее /’/-оболочка, лежащая в многообразии М. Тогда L имеет универсальную обертывающую алгебру U m (L) в многообразии М, единственную с точностью до изоморфизма. Доказательство. Рассмотрим универсальную обертывающую алгебру U(L), которая существует согласно [4]. Пусть алгебра В из многообразия М - произвольная и <р: L - гомоморфизм. Тогда существует продолжение <р: U(L) —>В гомоморфизма <р. Пусть I - идеал тождеств многообразия М и I(U(L)) - вербальная подал­ гебра, порожденная идеалом 1. Если в качестве алгебры В рассмотреть PI- обо­ лочку А алгебры Ли L, то ср (I(U(L))n<p (L)=0. Следовательно, I(U(L))nL=0. Поэтому алгебра Ли L вкладывается в алгебру U(L)/I(U(L))H. Обозначим ее че­ рез UM(L) = U(L)/I(U(L)). Так как образ идеала I(U(L)) при гомоморфизме ф ра­ вен нулю существует гомоморфизм (p\UM(L) -> В, продолжающий гомомор­ физм ср. Следовательно, алгебра UM(L) является универсальной обертывающей алгеброй алгебры L в многообразии М. Единственность с точностью до изоморфизма следует из универсального свойства алгебры U m (L). Пусть L специальная алгебра Ли, А - ее / ’/-оболочка и М- многообразие ассоциативных алгебр, порожденное алгеброй А. Пусть полупростая специальная алгебра Ли L имеет полупервичную /’/-оболочку А. Обозначим через М многообразие ассоциативных алгебр, поро­ жденное алгеброй А. Скажем, что алгебра А является полупервичной универ­ сальной обертывающей алгеброй, алгебры Ли L из многообразия М, если для любого гомоморфизма <p:L->BH , где В произвольная полупервичная алгебра из 187