АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

2) Пусть после удаления из диаграммы М граничного слоя Кг получается простая диаграмма Л/'с граничными циклами у\ и 8 . К этой диаграмме можно применить теорему 3, т.к. ^у,), <р( 8 ) - R, R - несократимы. Действительно, покажем, что q^y,), <р( 8 ) - R ,R - несократимо. Предположим, что в слове <р(у,) ^-сокращение. Тогда либо в есть область Da: i(Do) е {0,1}, т.е. либо в <р(у) есть подслово из R, либо к у можно приклеить область Д>: <fKSD0) к ab, ф(дОоПу,) = а, причем || а || = 3, || й||=1. Но в любом из этих случаев в исходной диаграмме М мы получим либо противоре­ чие с условием Т(4), либо слова из Л сократимы, либо <р(у) R - сократимо. Рассуждая аналогично, получим , что <р(у\) R - несократимо, т.к. наличие полосы на у\ приводит к тому, что /р(у) также должно быть Л-сократимо - противоречие. Следовательно, к М ' применима теорема 2. Тогда п < | wS | < | Щ -1r0| < \<dy,)\ -| r0| < 2| v0|-| г0|-| Ы = 2| v0|-| г0\\ Пусть теперь М - к -слойная диаграмма, к > 2. Т.к. выше было доказано, что в наших диаграммах не бывает островов и полуостровов, то можно триви­ ально показать, что на у и ^выходит одинаковое число областей. Действительно, при к = 2 оба слоя диаграммы М имеют строение, ука­ занное в лемме 3 и остается вспомнить только рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 3 [2] и однослойных диаграмм. При к > 2 применим индукцию по числу слоев в М и лемму 10. 2. Пусть теперь от слова wг переходим к слову и>0. Предположим, ходно имеет место равенство: z'w"z = v, но тогда z'w ^ z = v2 или z'w"0z = v20. Находим и. Ясно, что в этом случае п < 4( v0|-| го|2- Лемма 10 [1]. Пусть М - диаграмма из условия леммы 4, и в М '(М ”) нет неправильных областей. Тогда граничные слои диаграмм М'{М") имеют строе­ ние, указанное в лемме 3. Лемма 9, а вместе с ней и теорема 4 доказаны. 184