АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Использовать в дальнейшем этот результат нам поможет Лемма 8 . Пусть М - приведенная кольцевая диаграмма типа С(4)&Т(4) дМ = уиД <Ду) = wfi , ipS) = vo и слово v 0 R,R - несократимо и любая степень слова щЯ, Я - несократима. Тогда ни один из граничных слоев диаграммы М не явля­ ется специальным. - . и. Доказательство. Предположим, что слой Кг является специальным. Рас­ смотрим кольцевую диаграмму Ми построенную из областей слоя КТ Разрежем слой Ку по общему для областей £>ь D„ ребру; из двух экземпляров полученной односвязной диаграммы склеим кольцевую диаграмму Mi, одна из граничных у меток которой равна w0 . Из строения областей в Кг следует, что в диаграмме Мг можно выделить полосу, т.е. в слове W q есть R -сокращение, что противоре­ чит условию леммы. Полученное противоречие завершает доказательство лем- мы. ^ одг , гмо г-« ■ Определение 7 [1]. Кольцевая приведенная диаграмма М с граничными циклами у и 8 называется простой, если у п 8 * 0 и \М\ > 0; М называется вы­ рожденной, если |Л4| ~ 0' i- ■ '■ Пусть М= М0- кольцевая приведенная диаграмма, дМ= у иД у= у>, 8 = Д. Обозначим через М'к ( Мк) к > 0, поддиаграмму в М, полученную из диаграммы М'к_\ (М к_|) с граничными циклами уц, Д (ft, Д.|) удалением граничного слоя Кук ] ) вместе с ук.\ (Ди). Тогда дМ'к- у*и ( дМк = у() и Д ) . Определение 8 [1]. Кольцевая приведенная Л-диаграмма М - М» (9М0= у0 иД) называется к-слойной, к > 1, если после удаления граничных слоев Куо , . . . , К} , получится вырожденная диаграмма и М называется C-k-слойной, если после удаления этих слоев получится простая диаграмма Лемма 9. Пусть М = М 0 - кольцевая приведенная диаграмма сопряженно­ сти слов wq и v 0или wq и v „2. Тогда п < 4| v0| | го|2 Доказательство. 1. Пусть от слова w переходим к слову Wo: w~vvo. Так как рассмотрению подлежат it-слойные и C-t-слойные диаграммы, а последние можно представить как объединение простой и t -слойной диаграмм с общим граничным циклом, то и рассуждения проведем для простых и Л-слойных диа­ грамм. 1) Пусть М - сама простая диаграмма. К ней применима теорема 3. Пусть р - число областей, выходящих на у и 8 , р < 2| v0|. Тогда п < | wq | < р\ r0| < 2| vq Mг0|, то есть п<2\ v0|-| г0|. 183