АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

ким, что wo е (v) можно выяснить, существует ли целое число п такое, что сло­ ва w", v сопряжены в группе G. Итак, пусть слова w", v сопряжены в группе G, нам нужно ограничить сверху число п функцией, зависящей от длин слов w, v и от длин определяющих соотношений (лемма 9), Используя теорему 2, заменим, если это необходимо, слова w, v сопря­ женными им словами vv0, v0 в группе G, причем слово v0 R,R - несократимо и любая степень слова w 0 R,R - несократима и в группе G W q ~ vo- я rR^SKlcv- В [4] доказано, что для сопряженных в G слов wfi , v0существует кольце­ вая приведенная диаграмма М: дМ= уиД, пусть с/Ау) = wq , <p(S) - v0. Определение 3. Пусть М 0 - кольцевая диаграмма, дМ= yu S , М 0 —М\ и М 2 и р, где Мх - кольцевая диаграмма, М 2 - односвязная диаграмма, дМ\ - у иД у с у, дМ 2 = Уг, ~ Р - простой путь, возможно, нулевой длины, с концами А е у,, В е уу Тогда диаграмма М 2 называется островом в Ма. Определение 4. В кольцевой диаграмме Л/0, состоящей из кольцевой диа­ граммы М |, односвязной диаграммы М 2 и области Д не содержащейся в этих диаграммах назовем диаграмму М2 полуостровом, если 3D - а\а 2 а2щ граница области D, а] с дМ\, «з с дМ2, все пути a, (J =1,2,3,4) простые . Общая идея доказательства состоит в использовании теоремы 3 для диа­ граммы сопряженности М. Поэтому докажем в начале, что в М нет ни островов, ни полуостровов. Определение 5. Пусть М - кольцевая диаграмма с внешним контуром у и внутренним S. Пусть уел 6 = 0 . Предположим, что в диаграмме нет островов и полуостровов. Внешний (внутренний) граничный слой кольцевой диаграммы М называется внешним (внутренним) КГ(К/) - слоем диаграммы М. Лемма 3 [1]. Пусть М- приведенная кольцевая диаграмма сопряженности циклически R, R - несократимых слов. Пусть в М нет неправильных областей, дМ= уиД Тогда слой K„{Ks) не содержит областей D таких, что /(D) > 4 и в Kr(Ks) число областей с внутренней степенью 4 равно числу областей с внут­ ренней степенью 2, причем любые две области с внутренней степенью 2 разде­ лены областью с внутренней степенью 4, а между ними могут быть области с тремя внутренними ребрами. Лемма 4. Если D - неправильная область в кольцевой диаграмме М, tp(y), <p(S) - R R - несократимы, то множества 3D п у, 3D п ё связны. Доказательство. Рассмотрим произвольный простой путь р с концами на у и 5. Разрезав диаграмму М вдоль этого пути получим односвязную диаграмму М|. Если в М есть неправильная область D для которой множество 3D Г\ у - несвязно, то это множество будет несвязным и в М\, что невозможно в силу леммы 1. Лемма 4 доказана. 181