АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Z, имеют целые коэффициенты при одном значении параметра /, то записыва­ ем соответствующие х, (в степени ±1) в порядке уменьшения В рассмотрен­ ном выше случае К =2, только при / = 1 коэффициенты при Z, и Z2 целые, и поэтому только в конце Атп используется условие записи в порядке уменьше­ ния индексов: х 2 х3. В общем случае получаем слово Ат,....,тк е FK. У автора есть предположение, что это будет примитивный элемент груп­ пы FK , и в следующей публикации на эту тему предположение будет доказано. В отличие от случая К = 2, когда по абеленизации me, + пе 2 е Z 2 факти­ чески полностью восстанавливается прообраз в F 2 для К>Ъ , этого восстанов­ ления не происходит. Например, в F3 элемент х*х 2 х ~3 х ~2 х ^ ' 1 х 23 является при­ митивным при любом h e Z , так как он равен произведению трех ассоцииро­ ванных примитивных элементов Ь{ = х*хгх3',b 2 =x 2 x ,\ b 3 = jc,''дез. При абелени­ зации р имеет образ (-1,0Д)=-е, + 0 -е 2 +е3. Тогда Z, =-te 2 .Z 2 - t 0 e 2 ,Z 3 =te 3 и / = 0;1. Отсюда А_ш =х 2 х1х 3 =xj'x3. Литература 1. Линдон Р., Шупп II. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Лглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра, 4-е изд. М.: Наука, 1965. 3. Cohen М., Metzler W., Zimmermann В. What does a basic of F [a,b] look like? // Math. Ann. 1981. V.257. P7435-445. 4. Gilman R., Holt D., Rees S, Combing nilpotent and polycyclic groups. Electronic version. P.1-29. 5. Gonzalez-Acuna F., Ramires A. A composition formula in the rank two free group // Proc. AMS. V.127. N 9. P. 2779-2782. 6. Osborn R., Zieschang H. Primitives in the free group on two generators // Invent, math. 1981. V.63. P.17-24. 178