АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

в свободной группе F 2 = (х,,лг2). Отметим, что р и q данными условиями оп­ ределяются однозначно. Можно распространить определение Атп(х,,х2) на отрицательные т,п: 1. Если т<0,п> 0, то А„п(хх,х2)= A_nJ x ; ',х2) 2. Если т < 0 ,л < 0 , то Amjl(xlx1)= 3. Если т > 0 ,л < 0 . то Атя(х1,х1)=Ал xj1) В первом случае формула разложения Атя из теоремы 3 будет иметь следую­ щую форму: Л ш М ' х г ) = А - Л х > '-х г ) = А { - р ) . * - М ' >х г к « ( хГ'.л2)= = А*- р *-А х 1' х 1)А р Л х*-хЛ где т< р < 0 и 0 <q<n. При этом m q -n p =-(-m )q +n(- р )= -((-т )-п (~ р)) = 1. Для сохранения условия mq - пр =\ можно поменять местами т - р - р х и р, и n - q = q , и q. Тогда mq, - пр, = m (n -q )~ n (m -p )= m n -m q -m n +np =\. Формула разложения приобретает вид: Апп - Ар ? Во втором случае формула из теоремы 3 сохраняет свой вид и условие тр - nq = 1, в третьем будет такой, как ■*' ■ •ДЬ’«• в первом случае. •, >. • • >М^"‘ . Как отмечалось выше, можно ввести для случая свободных групп FK={х,,....,хк) большего, чем два, ранга элементы, подобные элементам Атп. к ,, Пусть тх,....тк - набор взаимно простых чисел и р - £ т,ех е Z . Параметризу­ ем отрезок прямой линии в Z K от 0 до р, определяя Z, = гт,е,,0 < / < 1. Дадим параметру I значения (г, = 0Д,...!/и,|) Располагаем эти значения t на отрезке I тл [0,1] в порядке возрастания. Последовательно прюходя эти значения t от 0 до 1, записываем х,, если Z, имеет при е. целый положительный коэффициент и х;', если Z, имеет при е, целый отрицательный коэффициент. Если несколько 177