АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

потом дс, с соответствующими показателями степеней. Далее для теоремы по­ лагаем, что т,п> 0. Теорема 2. Полученный в результате описанной выше процедуры элемент Amjl{xt,x2) свободной группы F 2 = (х,, х 2) сопряжен с элементом Доказательство. Рассуждения для доказательства подобны рассуждени­ ям в теореме 1. Используем геометрическое описание получения слова Утп. Рассматриваем для отрезка прямой у= -~ х между точками (0,0) и ( т,п ) случаи, т когда этот отрезок пересекает между вертикальными прямыми линиями х= К и х =К +1 горизонтальную прямую у - 1 . Это выражается неравенствами - . к < к п(к+1), т т которые равносильны неравенствам К I К +1 _ < ... < . . . . . , т п т ■ Последние неравенства снова указывают на то, что между двумя после- > п И'.г/ . • ;■ довательными буквами х, будет буква х2. Если между и + нет дроби со т т знаменателем п, то подряд следуют буквы х,. Аналогичны рассуждения при перемене мест букв х,,х2 и соответственно, т и п . Значит, Д,„(*,,х2) совпада­ ет по первым т +п - 2 буквамс Vn„(x i-xA Поэтому Атп - У„„х,.х,. Далее ис­ пользуем предложение 4.3 и теорему 4.4. из [6], процитированную выше. От­ сюда получаем, что слово Атп (х,,х2) сопряжено с ^ л(х,,х2) Теорема доказа- .. ....... ft . . на. Из формулы Атп =Утлхг,хх теоремы 1.3. и предложения 4.3. из [6] выте­ кает аналог теоремы 1.3. [6]. Теорема 3. Если (т,п)~ 1, mq - пр = 1, 0 <р <т, о <q <п, то А„.„(х,,х2)= Ат_р„^ (х,,х2 )Apq (х,,х2) 176