АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Точки В 1 1 ,—/1 и c f i + l,—(i + l) | лежат на прямой у - Пх и имеют \ т ) \ т ) т х - координаты i и i + 1. Так как j - целое число, то между В и С лежит точка D пересечения прямой у = ~-х с горизонтальной линией у = j сети 0 . т Имеем ситуацию, описанную выше при получении слова Vmjt. В рассматривае­ мом случае системе неравенств (1) соответствует то, что между двумя последо­ вательными буквами х, будет буква х2. Если неравенства (1) не выполняются, то в слове будет две последовательные буквы х у Аналогично рассматривается случай, когда в неравенствах (1) меняются местами знаменатели. Отсюда сле­ дует, что процесс выписывания слова, указанный в условии теоремы, полно­ стью совпадает с построением Vm п. Теорема доказана. Рассмотрим еще одно построение примитивных элементов в F 2, которое допускает обобщение на случай свободных групп большего ранга. Получение примитивных элементов данным способом использует комбинги в Z к [4]. Кратко дадим описание этого способа для получения примитивных элементов при К = 2. Для любого элемента р =те 1 +пе. из Z2, где т,п - взаимно простые числа, параметризуем отрезок прямой от 0 до р посредством формул Z, =tme,,Z 2 =tne2; 0< t <1. Предполагаем, что коэффициенты пии tn - целые числа, и поэтому параметр t получает значения <=— (г = 0,1.... jm() и N (г2=0,1,...!и|) Расположим эти значения / на отрезке [0,1] в порядке возраста- И ния и последовательно проходя их от 0 до 1, если Z, имеет целый положитель­ ный коэффициент, не равный 0. Записываем х; и, если Z, имеет целый поло­ жительный коэффициент, записываем х~'. При / = 1 записываем сначала х2, а 175