АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

рыхДЯ') является действительным числом, меньшим 2 по модулю. В частности, найдется Я’ такое, чтоДЯ') = 2 cos в л с некоторым рациональным в\ |_/{Я')1 < 2. Но тогда элемент У(Л') имеет конечный порядок в группе G(A), и значение Я' является искомым несвободным. Теорема доказана. Эту теорему можно использовать для поиска других точек на границе множеств F" и R Зададим произвольно цикл четной длины для последователь­ ности показателей слова V(A) =А“'Вк'А“!ВЬ}... Построим по формулам (2) ре­ куррентную последовательность, элементы которой записываем как многочле­ ны от Я. Цикл повторим два раза. Запишем соотношение х2к = -2хк, которое бу­ дет представлять собой уравнение относительно Я. Согласно теореме, корни этого уравнения являются предельными точками множества R . Проиллюстрируем этот метод на примере цикла (I, -I). ХкУк 0 1 2 -А + 1 -2Я+2 2, Я 2 Я 2 Я а*, Ьк 1 - 1 1 - 1 Получаем уравнение -2Я+2 = -2 2, откуда Я = 2. Как отмечалось выше, эта точка лежит на границе свободной области. Аналогичный результат получаем для цикла (1, 1, 1, - 1, 1). Корнем соответствующего уравнения является число Я = * Л 1 . 4 4 Практика показывает, что для задания циклов следует использовать числа ±1. Но конечно, возможны и исключения. Для обработки результатов следует использовать компьютер. Литература 1. Lyndon R.S., Ullman J.L. Groups generated by two parabolic linear fractional transformations/ / Can. J. Math. 1969. V. 21. № 6. P. 1388- 1403. 2. Игнатов Ю.А. Свободные и несвободные подгруппы PSL 2 (C), порожденные двумя параболическими элементами // Мат. сб., 1978. Т. 106(148). № 3. С. 372-379. 171