АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

ХьУк 0 1 2 l+ 2 i -4i -3+2i - 6 -3 -4 i 8 i 5—4i 2 , i 2 i 2 i 2 i 2 i ah bk 1 i - 1 - 1 1 i - 1 - i Видим, что последовательность показателей получается циклической, цикл имеет вид (1, 1, —1, -1). Если ее продолжить далее, то заметим, что значе­ ния хк в конце каждого цикла образуют последовательность 0, -4i, 8 i, -J2i, ... Эта последовательность получается из арифметической прогрессии изменением знака каждого второго ее члена. Такая же закономерность наблюдается для других значений А, находя­ щихся на границе свободной области: для А = 2 последовательность показате­ лей имеет цикл (1, -1), для Я = 3 "^7 —+—— i - цикл (1, -1, 1). Так как следует рас- 4 4 сматривать циклы четной длины, в последнем случае цикл следует удвоить. Этот результат не случаен. Пусть V- матрица, построенная из Л и Я с по­ мощью последовательности показателей, образующей цикл четной длины. То­ гда при повторении этого цикла получаем матрицу V1. Пусть р - правый верх­ ний элемент матрицы. Во всех рассмотренных случаях имеем p(V2) = -2 р(У). Следующая теорема показывает, что этого достаточно, чтобы Я было предель­ ной точкой множества Л*. Теорема. Пусть V(k) =Аа‘Bb'A ”1 Bb l матрица, построенная из матриц (1) с данным комплексным Аи не являющаяся степенью В. Пусть р - правый верх­ ний элемент матрицы и p(V2) = -2 p(V). Тогда в любой окрестности точки Асу­ ществует несвободная точка. Доказательство. Пусть V = а Ь с d , тогда V 2 = * b(a +d ) и по усло­ вию b(a + d) - -2Ь. Если Ь = 0, то значение А само является несвободным, как показано в [1]. В противном случае а + d =—2, то есть матрица V является пара­ болической. Ее след lr( V) = а + d можно представить как некоторый многочлен /А). Так как ДЯ) = -2, то в любой окрестности Анайдутся значения А' для кото- 170