АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Известно, что свободны все трансцендентные А, а несвободные Араспо­ ложены всюду плотно в связном открытом множестве Л* на комплексной плос­ кости, точная граница которого неизвестна. Дополнение F ' к множеству R со­ стоит из свободных точек. Множество свободных точек симметрично относи­ тельно координатных осей, как и множество несвободных точек, поэтому для исследования вопроса о свободе комплексных точек достаточно рассмотреть первую четверть комплексной плоскости. Известно, что граница между множествами F* и R проходит через точки 3 41 2, i и —+ - —i . В настоящей статье излагается метод, который может позво- 4 4 лить находить другие точки на границе. Для матрицы W- А<'|ВЬ|А“2В>2... = ^ ‘ * j элементы верхней строки можно находить с помощью следующих рекуррентных соотношений: хо = 0 ; у„ = 1 ; хк., = V* •2• ак+ хк.,; у к+, = хк1, -Л-Ьк+ук.,, к = 1 , 2 , ... (2) Здесь, начиная с единичной матрицы, при добавлении каждого нового сомно­ жителя в слово W поочередно изменяются хк и ук по приведенным формулам. Можно доказать (см. [1], [2]), что если какой-либо из полученных элементов окажется равным 0, то соответствующее значение Аявляется несвободным. Та­ ким образом, доказательство несвободы для конкретных значений Асводится к построению последовательности показателей в слове W, приводящей к нулю рекуррентную последовательность (2). Применим рекурсию (2) к значению А= i, которое, как указано выше, яв­ ляется свободным и лежит на границе свободной области. Результаты оформим в таблицу. В нижней строке подбираем последовательность показателей. Каж­ дый элемент в верхней строке следующего столбца получается прибавлением к ... , . Ч;‘*>г?' произведению элементов данного столбца верхнего элемента предыдущего • . . • ' • •. • • ?hl' \ '■' , ' • столбца. Последовательность показателей подбирается так, чтобы очередной элемент верхней строки получался наименьшим по модулю. 169