АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Теорема 2. Если подгруппа T(q) - 1/р - группы разложена в нетривиальное прямое произведение, то она является периодической. Доказательство. Пусть Лх В cz G, \ * а е А и 1 * Ь е В . По теореме 1 пря- мое произведение подгруппы, порожденной а, и подгруппы, порожденной 4, является циклической группой. Следовательно, существуют такие ненулевые целые числа а,/3,у,6, что а = ( а - Ь ^ ) г и Q — ( п . Получаем, что ZA = 1 и ( f a= \. Теорема 3. Если T(q) - 1/р - группа G разложима в нетривиальное прямое произведение, то она является циклической. Доказательство .Пусть группа G разлагается в нетривиальное прямое про­ изведение. По теореме 2 G является периодической. Теперь из теоремы 7 рабо­ ты [4] и теоремы 2 работы [3] вытекает, что группа G циклическая. Литература 1. Линдон Р„ Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: 1980. 2. Ольшанский А.Ю. Бесконечная простая нётерова группа без кручения // Изв. АН СССР. сер. матем. 1979. Т. 43. С. 1328-1394. 3. Ваньков Б.П. Непериодичность Т(б)-1/3- групп // Тезисы Международной ал­ гебраической конференции, посвящённой памяти А.Г. Куроша. МГУ. 1998. С. 149. 4. Greendlinger М. On Dehn's algorithms for the conjugacy and word problems with application // Comm. Pure and Appl. Math. 1960. V. 13. P. 641-677. ............ ■ ' >";! ' >Vi ' ' УДК 512.547 Ю.А. Игнатов НЕСВОБОДНЫЕ ГРУППЫ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Точка А комплексной плоскости называется свободной, если дробно­ линейные преобразования А = ( 1 2 0 1 и В = 1 о U / ( 1 ) расширенной комплексной плоскости свободно порождают свободную группу G(A). 168