АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Граничной вершиной или граничным ребром некоторой карты Д называ­ ется вершина или ребро из ЗД. Граничной областью карты Д называется такая область из Д , граница которой не пусто пересекает границу карты Д . Вершина, ; oil ребро или область карты, не являющиеся граничными, называются внутренни- ентированных ребер с начальной вершиной v. Если D - область из Д , то d(D) - степень области - есть число ребер в граничном цикле области D. Условие С’(1/р) гарантирует существование не менее р +1 пограничного ребра у всякой внутренней R - области D приведенной диаграммы T(q) - 1/р - группы, то есть d(D )>р +l. Условие T(q) гарантирует, что из каждой внутрен­ ней вершины v приведенной диаграммы T(q)- 1/р - группы выходит не менее q ориентированных ребер, то есть d(y) >q . Заметим, что T(q)-l/p - группы являются аторическими, то есть не сущест­ вует приведенной диаграммы на торе для этих групп. Так как, если предполо­ жить противное и обозначить через V, Е, F число вершин, неориентированных ребер и областей, соответственно, такой диаграммы, то в силу, Поэтому, в силу работы Ольшанского А.Ю. [2] перестановочные элементы T(q) - 1/р - группы являются степенями одного и того же слова., т.е. T(q) - 1/р - группы совпадают со своим антицентром. Теорема 1. Каждая конечно порожденная абелева подгруппа T(q)- 1/р - группы G является циклической. Доказательство. Пусть Я- абелева подгруппа T(q) - 1/р - группы G, порож­ денная г элементами b .... ,ЬГ, где г > 1. Так как совпадение с антицентром явля­ ется наследственным свойством, то Я совпадает со своим антицентром. Следо­ вательно, существует такой элемент г, что элементы 6, ,...,Ьг_г ,г порождают Я. ■1 :ВТ 70: Если v - вершина карты Д , то d(v) - степень вершины v - есть число ори­ 2 E =^d {y)>V q и 2Е =^ d (D )> F ( p +\) получим =E 2p +2q +2 <E 2 p + 2 q +q 167