АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Пусть X - множество образующих G, (А) > 2 и А с X. Тогда, если ф(ст) - есть слово в образующих А, то и ф(т )’1 - является словом в образующих А. Доказательство.В случае, если кольцевая диаграмма, удовлетворяющая условиям леммы, является и-слойной, то утверждение леммы очевидно. Для доказательства достаточно убедиться в справедливости леммы, когда кольцевая М - диаграмма является простой, пусть М - кольцевая с граничными циклами о, т, с ф{сг), ср(т )'1 е <7\ состоящая из К экспериментальных кругов, соединен­ ных последовательно друг с другом простыми пустыми. Обозначим их соответ­ ственно М\, Мг , ... ,М *иу„/= 1 , Л- пути, соединяющие Mt с Мпи причем у*со­ единяет Мк с М;. Рассмотрим поддиаграмму М„ пусть v, - вершина, являющаяся пересечением и у,.| п дМ,, v,+i = у, Г\ 8 МГ Допустим, что каждая область DczM ( такова, что dD n т * 0 и 8 D п а * 0 , и пусть Д , D2,..., D„ - все области из Mh где v, 6 с*Д, Vf+i е D„ и 3Dj п dDj+i = /,, 1 < j<n. Если для области Д 1 < i <п, ||ф(ЭД гг с)|| > 2 и ||<р(ЗД п т)|| > 2, то в этом случае слова ф(ЗД гг ст) и Ф''(ЭД п т) записаны на одних и тех же образующих. Допустим, что ||ф(ЗД гл о)|| > 3, ||ф(ЗД п т)|| = 1, тогда независимо от того, какой будет следующая область Д +i, подслова Ф((оД гл ст) и (йД+| п о)), ф '((ЗД n t ) u (ЗД+i п т)) будут также записаны на одних и тех же образующих. Если i = 1 либо 1 = и, то в силу леммы 6 получаем, что ||ф(ЗД Г\ а)|| > 2 и ||ф(ЗД п т)|| ;> 2 (1|ф(ЗД п ст)|| > 2 и ||ф(ЗД п т)|| > 2). Рассмотрим теперь случай, когда А^ содержит простые области. Выделим в М, - поддиаграмму Г, в которой каждая граничная область D является простой в Существуют области D ’и D ” такие, что 3D ’п дМ,- и 3D ” п ЗА/,- - несвяз­ ны в М, D \ D ” - ограничивают слева и справа поддиаграмму Г с граничным циклом у у х Y’>гдех = 3 0 ’г\й Г ,х ’ - 8 D '’г\ дГ,у =дГ п т, у’= дГ п а , 1x1= |Х’1= 2 и каждая граничная область D с Г является простой в А/,. При этом возможно, что D ” ограничивает слева поддиаграмму Г ’ аналогичную Г, Г ‘ - Г\' 161