АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

лагаем, что | v, | > 1, v, = В,Вг - Bs, s > 1, Bt е М 2 , но тогда из равенства (8) следует, что слоговую длину г можно укоротить, умножая на элементы из М2, что тоже невозможно по предположению. Что доказывает рассматриваемый случай. Случай, когда одна из подгрупп М, содержит образующий t, а другая - не содержит, аналогичен выше рассмотренному случаю. Рассмотрим случай, когда определяющее соотношение r(t,a,...,d,c) группы G удовлетворяет условиям: сга (г) Ф 0, а е {/, а , .... d,c) . Известно, что в этом случае группу G можно изоморфно вложить в груп­ пу G' =< х , a ,b ,...,d ,y ,r(x '2,a,b,...,d,yx V| )> с помощью изоморфизма / : / —»х*2, а -* а, ..., d -» d ,c —► ух V|. При этом изоморфизме подгруппам Ми М2 в G* будут соответствовать подгруппы: /(А^,): <х"2, a,b, ...,d> , f { M 2)\ < х ’2 ,Ь ...... d,yx~'' >. Рассмотрим в С'подгруппы Mx=< x,a ,...,d> , М2 =< x,b ,...,d ,y> , / W ) c M „ Д А /2) с М2. Так как определяющее соотношение г (х 'г ,a ,...,d ,y x " ] ) группы G’ удовлетворяет условию ах(г(х'г ,а,...,ух ~*1)) = 0, то в G* для любого z e G удовлетворяющего условию M tZM2 *Л/,А/2, можно показать также, как это сделано выше, что rang(Z~'M{Z f ] M 2) <, 1. Соотношению M(ZM2 * М ]М 2 в ■Jit!! группе G в G 'соответствует соотношение f ( M . ) f ( Z ) f ( M 2) * в Труппе G*. Покажем, что из того, что имеет место соотношение f ( M , ) f ( Z ) f ( M2) * f ( M , ) f ( M 2), следует соотношение M, f ( Z )M2 * М}М 2 в G*. Допустим противное, то есть ЗА е М и ЗВ е М 2, такие, что f ( Z ) = А- В. Заметим, слово В не содержит образующее а, а '1, А не содержит у. Ввиду того, что/есть изоморфное вложение, z =f ~ ' ( A - В), то есть / “' изоморфно 16