АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

является простой. Пусть K aQ содержит область D с «‘(D) = 3 в Л/0. Тогда М0 со­ держит путь у, соединяющий точку О е а 0 с точкой О’ е т0, такой, что (p(Y)eG^. Доказательство непосредственно получаем из леммы 18, из которой сле­ дует, что в рассматриваемом случае, в каждом слое K aj существует положи­ тельно направленное ребро. Выделив в каждом слое по положительно на­ правленному ребру, проводим путь у, содержащий эти ребра и соединяющий О с О'. Лемма 20. Пусть Л /0 - кольцевая связная приведенная диаграмма над группой Артина G большого типа с граничными циклами Сто, То, причем, каждая рраничная область D е М является простой с «'(D) = 4 в М и пусть ср(ст0) и ф(т 0)’1 е < j , тогда для каждой области D ’из М0 имеем d(D ’) = 6 . Доказательство. Из леммы 17 следует, что ^ (4 - /(D)) = (4— /(/))) = О поэтому, из выше сделанного замечания, Л /0 - является и-слойной. Чтобы убе­ диться в справедливости леммы достаточно показать, что каждая граничная об­ ласть, например, слоя имеет степень равную шести. Для этого рассмотрим граничные циклы сто, а, слоя ; из леммы 18 следует, что ср(а0), ф(<Г|)''е<7* и сопряжены в G, то есть z ф(о0) = cp(cri)"' z, где zeG*. Из теоремы 1 следует, что данное доказательство имеет место в (7*, поэтому |<р(<То)1 = |ф(<Т|)|. Если бы в слое содержалась область D с d(D)>6, то в этом случае ||cp(3D о Со)|| £ 3. Чтобы доказать, что из условия ||tp(5D Г\ <т0)|| £ 3 будет следовать неравенство |<р(оо)| > |q>(c«i)|, воспользуемся леммой 2 и леммой 21 . Лемма 21 [2]. Пусть weG*', w = wi - wj , w - нетривиальное свободно приве­ денное слово, равное в G„t единице. Тогда: (а) если ||w,|| < таЬ, то |w,| < \w2\; (б) если ||и>||| < таЬ, то |w,| < |w2|. 157