АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Допустим, что a,(«,) = a,(v,)?t 0, тогда можно считать, что o,(u2) = o,(v7) * 0 . Действительно, если o,(u2) = a,(v2) = 0, то уравнение z~lu2z =v2 заменим уравнением z ' u xu2z = v,v2. Поэтому будем рассматривать случай, когда a ,(“ i) = »t( v , ) 0 & a,(K2)= a ,(v 2) * 0 . Допустим, что a,(u,) = p ]t о г(м2) = р 2. Тогда и, = й ^ Р[, u2 =«2fP2, v, =V|/P|, v2 =v2/ P2, где й{1й2 е М ], >Ц1ПКИ* '/И: v,,v2 е М2. Очевидно, что существует р > 0, такое, что ■и < ( ' м - v j -Nj r\Nj+p = Г )Я ,, причем М, с Г )Я ,. -» -ao Будем предполагать, что p t >p , р 2 >р , в противном случае заменим w, ,v, и u2,v2 их соответствующими степенями. Как и в случае (в) группу G будем рассматривать как расширение N с по­ мощью подгруппы < / >. Будем предполагать, что a,(z) = 0 и x(z) = z = A0Ai...Al , где |г]| > 0. Пусть в G имеет место хотя бы одно из равенств (1), то есть А A-i А А0 и ^ р' A0At ... Ак - Vjt Pl, j = 1,2. (8) Так как Z минимально в двойном классе М ,гМ 2, то А0 еМ , и Ак «Е М 2\ кроме того, очевидно, что А0 i ^Р|Я , J, так как в противном случае слоговая длина z была бы меньше; поэтому Ад и А0р = I Р‘A0t р‘ не содержатся в одном сомножителе N ] группы N. Далее, если vj £ М ], то v, содержит в несократи­ мой записи Cj ,, поэтому, если |v,.|| < 1, то v, и t P‘vat р‘ =vlpj тоже содержатся в разных сомножителях. Поэтому, возводя обе части соотношения (8) в степень т>2к +3 получим, что слоговая длина слова (vjt p° )" -t Р,т будет больше сло­ говой длины левой половины равенства (8), что невозможно. Поэтому предпо­ 15