АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Нашей целью является доказательство следующей теоремы. Теорема 1. Пусть G конечно порожденная группа Артина большого типа и (? соответствующая полугруппа. Тогда любые два слова w и v из С* равныв G, тогда и только тогда, когда они равны в (У. Для группы Артина конечного типа данная теорема справедлива. Рассмотрим предварительно доказательство теоремы для двупорожден- ных групп Артина большого типа, то есть для групп, заданных копредставлени- ем G at= (a ,b ;K ) , ( 4 ) где - симметризованное множество, полученное из определяющего соотно­ шения гаЬ- аЪ а ...Ь л ал Ьл ... , где таь > 3. Лемма I [2]. Множество удовлетворяет условиям С(4)&Т(4). Лемма 2 [2]. Если и>е G.b, w - нетривиальное свободно приведенное слово равное единице в G„b, то ||w|| £ 2 таь- Символом ||и>|| - обозначаем слоговую длину слова w в свободном произ­ ведении <a>*<b>=F. Пусть С ]ь = {{а, 6 ; aba...= bab..!^ полугруппа, соответст­ вующая группе Артина G„* большого типа. Теорема 2. Пусть w, v произвольные слова полугруппы бУ„4) w равно v в Gab тогда и только тогда, когда w равно v в G*«». Можно предположить, что слова w v '1 и v '1 w - несократимы в свободной группе F=<a, b>. Допустим, что w=v в группе С„», тогда на основании теоремы ван Кампена существует ^-диаграмма М с метками областей из и меткой ЪМ, ф (8М) - w v '\ Лемма 3 [1]. Пусть G lb =(а,Ь\ ( a b =(ba)m°h^ - группа Артина и слово we Gab циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую длину равную 2 таь и равно единице в G ^ ,Тогда при таь- 2 k+l, w имеет вид а )атЬ а ... а Ь'та'1... Ь'\ либо р) а Ь ... ЬатЬл о '1 ... Ь 'п, либо им обратные; а при таЬ = 2 к 140