АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Если тх < 2к +1 и т2 <2к +1, то в силу равенств (6) имеем, что A q ’H'A q е Н j , т= 1,2; Vy. c H j , и так как в классе M{z М 2 слово г имеет минимальную слоговую длину и минимальную длину, то А0 £ М ,. Пусть А0 е N ,t , А, е N f2 , i, * j 2, и пусть Nt] * ' где М, с Я и до­ пустим, что !, < i2, тогда Н с # ,1+| ПЯ,2. Для того, чтобы имело место соотношение (1) при сделанных предполо­ жение, необходимо, чтобы А^'й2А0 е Н , но так как А0 t H i}, то НА0Н Ф НИ , поэтому в силу индуктивного предположения следует, что rang(< г7,,м2 >) < 1. Допустим, что г = А0; тогда соотношения (1) примут вид: I Ап и I Ап —v, { ■ ' ° _ (7) Ио иг^о ~ V2 Очевидно, что | v, |= | v2 | = 1, так как | А ^ 'й ^ | = 1. По условию М,А0М 2 ф Л/,Л/2, и существуют /,, /2, /3 такие, что А0 е Nif , v, е N,2 , v2 е Nl} . Очевидно, что v,,v2 должны содержаться в одном сомножителе. Дейст­ вительно, если /2 Фц и v,,v2 не содержатся в одном сомножителе, то соотно­ шение Л о 'М 0= у, заменим соотношением Ац'щЩАц = v,v2, для которого | Ад'щП2А0 | = 1 и |v,v2 |> l, что невозможно. Таким образом v,,v2 е Ni2 . Рассмотрим подгруппу N:] * Nl2 , i] < i2. Для того, чтобы имело место соотношение (7), необходимо чтобы А0'ы,А0е Н , М, с Н , А0 £ Н . Поэтому в силу индуктивного предположения получаем, что rang{< й,, н2 >) ^ 1. (г) Рассмотрим теперь случай, когда a , ( « i ) = °>(vi ) * 0 v о, (и2) = а, (у2)Ф0 . 14