АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Лемма 9. Пусть М - диаграмма, описанная выше. Пусть К (7й, К а^,, 1 K„k l - все слои диаграммы М (о&=о). Тогда к = 2, то есть диаграмма двух, слойная. Доказательство. Предположим противное. Допустим, что в диаграммеА { три слоя. Пусть К а(), , К„г - слои диаграммы М. Применим к диаграмме М • о формулу 0 < £ ( 3 ~ d(v)) +£ ( 4 - ^ ( v)) + ^ (4 -t/(D )) (*) [4]. Первое и второе М М М слагаемое не превосходят нуля. Более того, поскольку эта формула справедлива для любых диаграмм, то два первых слагаемых можно положить равными ну­ лю. Отсюда, а также из условия Т(4), следует, что в KC q все области с тремя внутренними (в М) ребрами, то есть d(D) = 4 и области первого слоя дают нуле­ вой вклад в последнее слагаемое суммы (*). Из сделанного в начале доказатель­ ства предположения следует, что каждая область второго слоя Ка] в диаграмме М имеет не менее 5 внутренних ребер и, значит, даёт отрицательный вклад в сумму (*) - противоречие. Следовательно, в М не более двух слоев. Лемма до­ казана. Очевидно, что п,т< НОК(|и>|, |v|). Этим завершается доказательство тео­ ремы 2 . Литература 1. Безверхний В.Н. О нормализаторах элементов в С(р)&Т(р) группах // Алго­ ритмические проблемы теории групп и полугрупп. ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 1994, С. 4-58. 2. Безверхний В.Н., Паршикова Е.В. Решение проблемы вхождения в цикличе­ скую подгруппу в группах с условием С(4)&Т(4) // Алгоритмические про­ блемы теории групп и полугрупп. ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2001, С. 3. Безверхний Н.В. Проблемы степени и степенной сопряженности в группах с малыми сокращениями. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, 1999. 4. Линдон Р., Шупп П, Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980. 5. Паршикова Е.В. Проблема слабой степенной сопряженности в группах с ус­ ловием С(4)&Т(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2001, С. 180-186. 6 . Kapovich I. Small cancellation groups and translation numbers // Amer. Math. Soc. May 1997. V. 349. № 5. C. 1851 - 1875. 138