АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

(в) Рассмотрим случай, когда a ,(u ,) = o(v,) = 0. (в1) Рассмотрим подслучай, когда | и, | = |v, |S1. Пусть z = АйА} ... At , где 2 е N и AtJA[ ... Ак - нормальная форма г в N. Допустим, что \z \ >1, тогда соотношение (1) будет иметь вид: Л* -4 м --Ч Ч ulA0Ai ... Ак =v(- (4) В дальнейшем считаем, что слово z выбрано в двойном смежном классе M,zM2 - наименьшим. Так как в соотношении (4) | v,| < 1 и к> 1, дополу­ чаем ранее рассмотренные случаи. (в2) Пусть для некоторого i, i - 1,2, | v, | > 1. Тогда можно считать, что )v, | > 1 и | V, | > 1. Действительно, если | v, (= 3 и | v2 |> 1, то рассмотрим вместо v, v,v2 и если | v,v2 1> 1, то равенство z _la,z = v, заменяем равенст­ вом г~1щйгг = v,v2, если | v,v2 | < 1, то в этом случае равенство z~'u2z = v2 за­ меняем на z~'u}u7z = v,v2. Поэтому будем предполагать, что | v, | > 1, /' = 1,2, и пусть равенство (1) имеет вид: •-4 ^0 М оД 1 ...Ак = В,В, ...вт\ t (6) U ~ 4 - , ■Д и2А0А] , ••• \ = в ;в 2 ...в' т2 где v, =В]В2 ...ВЩ, Щ >1, v2 = в \в г ... в ; 2, тг > 1, и В,В2 . ■в щ , в ; ... в ; 2 - нормальная форма слов, соответственно, v,,v2 е М г . Заметим, что в нор­ мальной форме v,, й2 каждый из слогов В, 6 М 2 (записан в образующих М2). Будем предполагать, чТо т1=т7 =2к +1, т. е. Ад'и-А(1 е HJt тогда из равенств (6) получаем, что слоговую длину z можно уменьшить, умножая на М2, то есть слово z не является минимальным. 13