АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

избежание противоречий, j(Z)/+2) должно быть равно 3, следовательно, h= j-\ и область Dy+) находится строго под областью £>j+1. Рассмотрим диаграмму К ^ К гу как и выше, считаем, что она приведенная Рассмотрим в К] тот же участок £>} и Z >2 и . . . и £>] и £>j+1: i'( D j ) = 3, i( D \ ) = 2 /(Z>j ) = 4, i(Dlj +i) = 3 и для любого / б { 1 3 ) i( А 42 ) = 3. Как было по- казано выше под областью Dj должна находиться область с четырьмя внут ренними ребрами, но, как и выше, получаем, что область с двумя внутренними ребрами на нашем участке будет под областью D \ . Пусть это область Z),2, при­ чём, очевидно, ^ЭО,2 п й ) =c d и ^ЭО,2 пд£>1 ) s с, p(d£>2 n dD \) = d. Склеим, наконец, и К2 по границе а, начиная с областей D\ и D\, т.е. с участка cd. Но тогда либо \\cd\\ =1 и \\(p(dD} )|| = ||^(3Dj3)|| = 3, либо 2 3 <AdD | ) е <fddD\ ). Далее, проводя те же рассуждения, что и при доказательстве леммы 1, получаем, что Кз есть копия К2. Лемма доказана. Лемма 4J1], Пусть М - приведённая кольцевая C-fc-слойная диаграмма с циклически R,R- несократимыми граничными метками. Тогда в М существует |раничная область D с /(£)) = 2. Итак, пусть нам даны слова и», v, для которых надо выяснить, существуют ли ненулевые числа п, т, такие, что слова w n , vm сопряжены в группе G. Предположим, что такие числа существуют. В силу особенностей, о которых говорилось в лемме 1 строения диаграммы, рассмотрим приведенную диаграм­ му М сопряженности слов w2n, v2m с границей дМ = а г<>Считаем, что чис­ ла т, п наименьшие, при которых указанные слова сопряжены в группе G. Если диаграмма М С-А-слойная (А> 0), то по лемме 1 все слои Ка (/' >0) гv 1 • • этой диаграммы являются периодическими с основаниями, состоящими из р областей каждое. Причем в каждом слове содержится ровно п экземпляров со­ ответствующего основания. Метки, написанные на границах о; слоев Ка , име­ ют вид: с<ст,) = w- (/ > 0), w0= м>2. Замечание I. Здесь и далее до леммы 6 считаем, что слои К„ и К, - слои а0 г0 типа: или Основания слоев Ка . будем рассматривать с точностью до циклической перестановки р составляющих их областей и обозначать через к,. Итак, каждое такое основание - есть диаграмма, содержащая р областей. Так как множество R определяющих соотношений конечно, то существует лишь конечное число различных диаграмм из р областей, из которых можно склеить 1-слойные коль­ цевые диаграммы, имеющие такое же строение, как слои диаграммы М. Обозначим число таких диаграмм через £„, а сами диаграммы обозначим через кв,. . . ,kg \. Среди них содержатся все основания слоев диаграммы М. 128