АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

ся каждая буква может не более, чем | v | раз, т.к. числа т, п - минимальные (иначе из М можно было бы вырезать поддиаграмму, а оставшуюся часть снова замкнуть в кольцо, удовлетворяющее условию леммы). Итак, Р 5 1 м> | | v | . Предположение, что \ у |> | w| I v| при / *= 1, 2 , . . . , Р приводит к тому, что w* и v* являются степенями одного элемента. Лемма доказана. Определение 4. Пусть М - кольцевая C-fc-слойная диаграмма из леммы 1 (т.е. в Месть область с 2-мя внутренними ребрами), с R,R~ несократимыми граничными метками, слои К а(), АГС Т | Ка которой являются периодиче­ скими. Период слоя Ка . состоит т р областей D ),D f,...,D p,y ' 1 s r.Ov.' * J . i ' i l . u - .-.л .ф и . ■, ‘ .i v h d i • >■ OH : ■ •• i = 0, 1, . . . ,k- 1. Ниже поддиаграмму (J Dj будем называть основанием слоя / “• К*Г Лемма 3. Пусть К], Кг, Кг - однослойные кольцевые диаграммы с грани­ цами дК, = <Ji и щ. Предположим, что при г = 1,2,3 диаграмма /Г, содержит об­ ласть с двумя внутренними ребрами и все степени слов <р( a,), q ir) R,R- несо­ кратимы. Тогда, если все три диаграммы имеют одну и ту же метку на одной из своих границ, то две из этих диаграмм являются копиями друг друга. Доказательство. Пусть « - общая для трех диаграмм граничная метка. Рассмотрим диаграмму К\\Жз ■ Предположим, что она приведенная, так как иначе, рассуждая как при доказательстве леммы 1 получим, что К j есть ко­ пия диаграммы Кг. Как следует из условия леммы все диаграммы имеют такую структуру, что области с двумя внутренними ребрами чередуются с областями с четырьмя внутренними ребрами, не считая областей с тремя внутренними ребрами. Пусть а - общий граничный цикл наших диаграмм. Выделим в К\ блок областей D |'u fl)u . , . u D ) u C ]+1: i (£>}) = 3, »(Г4) = 2, /(D}) = 4, /(£>}+,) = 3 и для любого i 6 ( 0 ,... J - 2 ) i(D ]+2) = 3. Пусть tp(dDlj п а ) = ab. Тогда сущест­ вует h: /( D \) = 4, причём (/idD ^yn a ) = a, p idD ^ ^ n a ) = Ь.В противном слу­ чае, если /( d \ ) = 2 или 3, то приходим к противоречиям. Из строения слоя Kt следует, что, если в диаграмме более одной области с двумя внутренними реб­ рами, то существует k >j :;'( D ]k) = 4, причём это наибольшее к с таким услови­ ем. Таким образом, получаем, как и выше, что область с четырьмя внутренними ребрами в Кг должна быть и под областью d \ . Пусть это область . По­ скольку К} имеет такую же структуру, что и К\, то между и Dl должна быть область с двумя внутренними ребрами, но ясно, что она может распола­ гаться только под областью Z> 2 . Обозначим её Dj5. Пусть (ДдО^па) = cd, при­ чём <ДдГ^пдо\) = с, <р(дD\ п д D j) =d. Если /(£>/) = 3 ,/ € { 2 ,... ,А- 1}, то, во •Ц liifii 127