АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

■IFfTl if ке{2, . . . , r-l}\{/} /(£>“) = 3. Наклеим экземпляры областей . . ,Df! 8а области £>®, . . . D°p по границе а. Ясно, что <Д80,по) = ^(д1>“по), s <ДдО°г_ус\&), . . . , ^ 9 D ;®,no) = ^9£>“+,+,ncr). Тогда, выполнив преобразования, как и в пункте 1 . 1 . 1 . 1 ., получим, что эта ситуация приводит нас к противоречиям либо с условием Т(4), либо с несократимостью слов из R. Докажем теперь периодичность всех остальных слоев на примере слоя Ka i. Пусть области D j°,. . . , Dp - области, составляющие период слоя Ка^ 1 i(D]°) = 2, i(Dp+ 1 ) = 2. Из строения слоя Ка следует, что в нем, как и в преды­ дущем слое, должны чередоваться области с двумя и четырьмя внутренними (в АЛЛ ^) ребрами, не считая областей с тремя внутренними (в ) ребрами (поскольку <p(a,)-R,R- несократимо). Очевидно, что области с двумя внутрен­ ними (в М\Као ) ребрами на интересующем нас участке будут находиться под областями с двумя внутренними (в М) ребрами, в частности, под D ,0 и D°+1. Пусть это области d \ и D xp+y. Очевидно, что области с четырьмя внутренними (в ) ребрами должны быть расположены под областями, имеющими че­ тыре внутренних ребра в М. Пусть <Д8Ьс\сг\) = W| (берем, например, слой типа В или '). Тогда берем некоторую циклическую перестановку слова W| - (в>|)*, так, чтобы <р(дГ>1 пеГ|) - начало (и>[)*. Тогда, <ДдОр+] Г\сг |) - также начало сло­ ва (wi)* и можем провести рассуждения как в п. 1.1.1.1 для слова w. В данном случай Получим, что длина периода будет составлять длину слова wt, то есть у нас слой Ка1 - слой типа . То, что число областей в периоде слоя Кс равно р доказывается также как доказано Вспомогательное утверждение при решении проблемы слабой степенной сопряженности [5]. Лемма доказана. Р Р Лемма 2. Пусть М - ((JjVy) w С [_}у j ) - простая кольцевая диаграмма со- Ы j=\ пряженности циклически R ,R - несократимых слов w” , vm, где числа т, п - наименьшие с таким свойством. Л(—поддиаграммы в М с границами dN, - <7jUT t , <TinTj= { Aj, В (} - вершины (i = 1, 2 ,. . . , P), у - простые пути с концами Вы, A,-, i~ 2, а простой путь у, имеет начало ВР, а конец А/. То­ гда \ у U М М , / > < | w| I V I . Доказательство. Пронумеруем буквы в словах w, v: w=X/X2 . . . x/w/, v sy y2 ■■■Уhi- Среди этих букв могут встречаться одинаковые, но, говоря о бук­ ве, будем подразумевать вхождение, поэтому буквы, стоящие на разных местах заведомо являются разными. Рассмотрим метки путей у: <Ду) = «/> *=1>. . . , Р, а в них рассмотрим пер­ вые буквы: Xf ,Xj . В этом списке букв существует не более | w | раз­ личных. Если Р > | w | , то хотя бы одна из этих букв повторяется. Но повторят- 126