АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

2 . 1 . 2 . i(Dr+i) = 4. Поступаем как и выше: вновь наклеиваем область на области D, u и D ®+3 по границе сг. Возможны два варианта: 2.1.2.1. /(Z)®+ 2 ) = 3. Тогда из условия Я* следует |$ 5 (д 1 > 10 пст) 1 =; 2 *> < а\+ I^3D®+ 2 n o ) l . Тогда либо i'(D®+3) = 3 или 2 , но в этом случае вершина А = ^ dD ,+3n дЦ° будет внутренней степени 3 или слова из Л сократимы, либо i(D®+3) = 4, что противоречит строению слоя Кад. 2.1.2.2. i( D°r, 2 ) = 2. Мы начали «просмотр» с области D®. Пусть ей предшествуют области D* , £)£_,, £)*_2, . . . Подклеим области ufl® ., на сг. Тогда если i(D®) = 3, то приходим к противоречиям. Пусть /(D*) = 4. Тогда для D*L| возможны варианты: i(D%_ j) = 2 или 3. В любом случае из условия Рк следует, что I псг)| > | г | . Из строения слоя КСГо следует, что для об­ ласти £>®_| возможны только варианты: = 2 или 3, но как видно, и в этом случае появляется вершина В = 3£>®_]ПЭО°пет степени 3 - противоречие. 2.2. i'(D, ) = 2. Пусть <р (SD° пет) г z< 3 , ||z||=||a||=l, причем Ы = М = А. 2.2.1. i(D?+) ) = 3. Поскольку I n o jl -2 k > Iа I, то, наклеив область £)|° на области D®uD®+) по границе сг, можно убедиться, что приходим к тем же противоречиям, что и неоднократно выше. 2.2.2. i(D®+1) = 4. Здесь вновь рассматриваем L = D]°u . . . u D r° u D®+]u .. . uD®, u 2 * (p(5Z,no). a) Iu 2 1= 2 1wI. В этом случае убеждаемся, что период равен 2 длинам сло­ ва w или состоит из р областей и s = пр. Будем говорить, что у нас слой типа . Действительно, »'( D°p+]) должно быть равно 2, так как в противном случае по­ лучим противоречия как и неоднократно выше. b) I I> 2 1 | . Ситуация, когда /( D °p) = 3 влечет, как уже показывалось, что £>®+1 должна иметь не менее четырех внутренних ребер, но так как I <p(dD^na)\ > I<р(д£>рПо -)1 , то, во избежание противоречий, i(D®p_\) =4, что противоречит строению слоя Кад. Остается рассмотреть случай, когда /( D °p ) = 2 и при этом /( D°p+ 1 ) = 4. Без потери общности можем считать, что для любого je {2 , . . . ,р-г- 1} »'( D°r+j) = 3. В силу особенностей строения слоя между областями D® и D, должна находиться область с четырьмя внутренни­ ми ребрами. Пусть i( D?) = 4. Можем считать, что для любого 125