АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

i(D°j+r) = 3, но i(D?+A) = 4, причем p(0Z>°) * <p(8DP+j ) , j <h и tp(cD0h) =<f{dDr+h). Докажем это. Предположим противное. Пусть для некоторого/< h i(D® ) = i(D®+|) = 3, но i(D?+/+i) = 4. Наклеим области Д° u Z )2 u ■ • ■ i на D®+ 1 uj D®+2 u . . . uD °+j.„ |U D j+y u D jt / +| no границе er. У нас имеют место равенства ^ЭД 0) - ?(ЭД0+1)......... * Э ^ _ , ) = ^Э Д 0+/_,), <Р(ЭО°) = ?<0ДО+/). Пусть 0D“ г >5 d J+, = ЛБ и ЗД°+/ r> ЭД°+/+| = ЛС. Разрезав диаграмму по уча­ стку С - - В, а потом склеив куски АС и АВ получим диаграмму М \ в которой либо вершина А - внутренняя степени 3, либо в словах их R есть сокращения. В частности случай 1.1.1.2., когда /( D% ) = 3, но /(£>®+2 ) = 4 не может иметь места. Пусть L2 = D®+| vj £>®+2 u . . . u f l ^ p , иг = <р(дЬ2Г\а) и Iн21= IwI, тогда, из при­ веденных рассуждений можно получить, что р = г. Кроме того, получаем, что '(Д°+р) = 3 (при условии, что j (D °) = 3). Итак, нам осталось доказать, что <p(dD0j ) a qidDr+j),j < h и <р(о£>А) a ip^dDp+h). Рассуждая, как и выше полу­ чим, что <p{8D^p) a tp(dDP). Не теряя общности можно полагать, что для лю­ бого к, I <к< r-h, i( D°M ) = /( D°+ft+4) = 3. Наклеим области из I , на Д по грани­ це а. Двигаясь в направлении от области £)°г получим, что *ЭД°,)*р(ЭОг0), q{dD2r_y) = c/idD P_\)........ <f(dDt^)^<p{8D°+lniy Но, т.к. у нас ДсШАИ) = <o(0Dr°+A_,) и ^ 3 D A+I) a q^dD °+h+]), то <*dD°h)e<p(dD?+h). 1.1.1. 2 . /(£>®+2) = 4 рассмотрен выше. 1.1.2. /(D2 ) = 4. На самом деле из рассуждений, проведенных выше ясно при этом, что /(Д °т2 ) должно быть равно 4 и <р(дВ2 ) г <f{dD®+ 2 ). Таким образом, в данном случае слой К(7о периодический с периодом из г областей и s = 2 пр. Будем говорить, что у нас слой типа 1.2. Пусть t(D®+i) = 3, 1.2.1. /(Д°+2) = 2 или 3. Пусть для определенности /(0®+2) = 3. Наклеим область Д° на области Dr°+ 1 u O j t2 по границе сг. Из условия Д следует, что М 5Д 0 по)1 = |<р(<Э(Д 0 +,и О г 0 + 2 )п<7)|, но тогда либо вершина А - внутренняя степени 3, либо в словах их R есть сокращения. 1.2.2. i(D,+2) = 4. Внутреннее число ребер области D ®+3 может быть равно 2 или 3 , но как будет видно из дальнейших рассуждений - это не прин­ 123