АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

t(M i K)hr(M2) * t (W |J(,)- x(M 2). Следовательно, на основании индуктивного предположения, соотношение h~'iijsh = v,, / = 1,2 имеет место тогда и только тогда, когда rang{< й,,й2 >) < 1. Пусть j< s , t(z) = t~CjBJ+lttJ*2BJ+2 ...В3, где Bj4 £ I / . Тогда соот­ ношения (1) будут равносильны соотношениям B jltiiiXjBj+i г t / e 2 ■ Так как «Ц е U ZJ+2, при / = 1,2 и UtJ^ B ^ V tJ^ * Utj^ V tJ. 2 , то в силу индуктивного предположения имеем: rang(< м,, й2 >) <, 1. Если z е Н , тогда т(ЛГ,), х(М2) - магнусовы подгруппы в / / и теорема справедлива. , (6) Пусть каждая из подгрупп Л/,, М 2 содержит образующий г, то есть А/, =< t, a,b,...,d> , М2 =< t,b , .... d ,c> . Представим группу G следующим образом: G -< t > a N , где N < G и N = ...*N , * N ... * N /+2 N0 * *... * Nk * ..., J H.j J 2 H0 н к. | где сомножитель Nj -< а,, - Л , ...» •••»Сц+у»*’ >, ie Z и ассоциатив- ные группы Нj -<а„.. bj ,. . , см ,у, (/ е Z)> , где каждое Xj = t ' tx tJ. Тогда в новых образующих подгруппы М х, М2 будут иметь пред- ставление: Л/ 1= < ' ,Af, >, М2 =< Г, м 2 > , где dif / 6 z>, м , , =< ,d,,...,C t, ie l> = — •••) * м B.j W * ~ *М 2.0 B -j+ \ * М 21* Во 'В, * и * \А * М2,у-1 tM2y "И где М •••» • »Сц+У*—» СЧ*] >' в< ~< ь, ,. ••J d jf *♦ »•••!| cU*j> * 1 где Я, с Нj и Л/2> с N Из равенства (1) следует, что o,(z~>ulz) =al(v l) и о,(и,) - a , (v,), /- 1 ,2 . Кроме этого, можно считать, что о, (г) = 0. 12