АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

этот участок, содержащий самую правую областью с двумя внутренними реб­ рами) через ESa . Другими словами, пояс а можно представить как объедине­ ние блока типа Sa , х экземпляров блоков типа Та и блока ESa : а = Sa и х Та и ESa , Аналогично a ’ - Sa'KJ х Та<yjESa>. Как следует из только что сказанного |£а и xTa \=\Sa'<JxTa’\, |£5 а |=|Е!>а '| + 2. Таким образом |а| = |Sa и хТа \ + |£Sa | = | Sa'KjxTa - | + |£Se >|+ 2 = 2 +|а1- Вспомогательное утверждение, а вместе с ним и теорема 3, доказаны. Теорема 4. В группах с условием С(4)&Т(4) разрешима проблема вхож­ дения в циклическую подгруппу. Доказательство. Пусть w, v е G и нам надо определить принадлежит ли Wциклической подгруппе (v). На основании теоремы 1 можем определить име­ ет ли элемент v конечный порядок. В случае конечного порядка проблема вхо­ ждения в циклическую подгруппу решается тривиально. Пусть элемент v имеет бесконечный порядок. Тогда, как следует из тео­ ремы 2 , либо от слова v, либо от слова v 2 можем перейти к слову v 0 такому, что vo~ v или v 0 ~ v 2 и любая степень слова v 0 R, R - несократима. Предполагаем справедливость равенства w = v" при переходе от v к Vo. Ес­ ли w не является R, R - несократимым, то заменим его сопряженным ему сло­ вом wo- Д ля доказательства теоремы необходимо показать, что число п можно ограничить сверху. Пусть М - связная односвязная приведенная диаграмма, дМ= yuS, пусть (({у) = w0, (f{8) = V q . Пусть r0 - самое длинное слово из Л и пусть р - максималь­ ное число областей, выходящих на у и S, при этом р < 2 | w0|. Тогда «I V0| < р\ r0| < 2\ wo|-| rol, то есть, п < 2| w0|-| г0|. Во втором случае при переходе от v 2 к v 0 проводим аналогичные рассуж­ дения и также приходим к неравенству, ограничивающему сверху п, только в этом случае п < 4| w0|-| г0|. Теорема доказана. Следствие 4.1. В группах с условием С(4)&Т(4) разрешима проблема 119