АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Так как диаграмма М’ имеет такую же структуру, что и диаграмма М, ц 0 меньшее число слоев, то к ней применимо индуктивное предположение, т.е. На 8 'н на ¥i выходит одинаковое число областей. Тогда получаем, что на у\ и на S" выходит одинаковое число областей. Учитывая строение областей Д и DB для завершения доказательства тео. ремы необходимо показать, что на у' и на 8 ’ выходит одинаковое число облас- тей. С другой стороны, на 8 ' выходит на 2 области больше, чем на 8 " (еще Е\ и D , ), на 8 " столько же, сколько на у\. Следовательно, нам надо доказать Вспомогательное утверждение. На у'выходит на 2 области больше, чем на у\, т.е. |а|= 2 + |а 1 , где а'=£>с и Д и . . . u / ) j u Д и d a n д а '- у\. Для этого рассмотрим пояса а и а'. Очевидно, что D 2 - область с тремя внутренними (в М\) ребрами (это доказывается для М\ также как и для диаграм­ мы М), но тогда и <м(Дг) = 3. Если теперь области D3, .. . , Д , р > 3 такие, что UD ,) = «А т = . . . = U D P) = 3, то iMx ( ) = iMl ( D' a ) = . . . = iMl ( D 'p_ ,) = 3. Действительно, т.к. Mj имеет такую же структуру, что и М, то ближайшей к Dc будет область с двумя внутренними (в Мх) ребрами, не считая областей с тремя внутренними (в Mi) ребрами. Допустим, что существует область £>': «д/, (O' ) = 2 и г <р - 1. Тогда вершина N = dDr п 8Drt, п D'r имеет в М внут­ реннюю степень 3, либо слова из R сократимы. Пусть теперь iUDpn) - 2, тогда, в силу следствия 13.1. для некоторого q >р + 2, ikAPq) = 4 (Считаем, что для j е { р + 2 , . . . , q - \ ) iJ,Dj) = 3). Но так как у нас группа с условием С(4)&Т(4), то ей должна соответствовать область с четырьмя внутренними (в Mi) ребрами, то есть существует h : iM] (£>') = 4. Но тогда для некоторого/ < h существует D 'f : iU] (D 'j ) = 2, но эта область должна находится только под областью D ^ x. Введем, дополнительные обозначения для участков поясов а й в ! Будем говорить, что области Х>р \ (Dc , D\, , D'p_x), т.е. области с тремя внутренними ребрами образуют блок типа Sa ( S a’). Области Dp, . . . ,D q (D'p ,. . . , D'4) образуют блок типа Та (Га -), каждый из которых содержит по одной области с двумя и четырьмя внутренними (в соответствующих диаграммах) ребрами. Как видно, в соответствующих блоках одинаковой число областей. Двигаясь таким образом вдоль поясов а и а 'м ы придем к тому, что все блоки типа Та (Та') будут исчерпаны. Это означает, что за последним экземп­ ляром блока типа Та следует блок типа Sa , затем встречается область с двумя внутренними (в М) ребрами и до области Д следует блок типа Sa . Обозначим 118