АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

лучим противоречие либо с условием Т(4), либо с несократимостью слов из R. Кроме того, очевидно, любая степень слова wi R - несократима. Пусть в слове w " , п > 1 есть R сокращение, определённое длинной поло­ сой П2. Пусть S\ - кольцевая диаграмма, склеенная из двух копий полосы II,, где П| = П\£>*. Из структуры диаграммы S\ следует, что полоса П 2 может быть только полосой первого типа. И в ней будет к - 2 области. Склеим из областей Dj2, . . . , 3 полосы П 2 кольцевую диаграмму S2} dS2 = С| и С2, <р(С2) —и>2, где w 2 = ^((5D 22 u3D 32 u . .,uSDt.3J) п<ЗП)\С|. Так же, как и для диаграммы S, получаем, что все области в S2, кроме, быть может, од­ ной, имеют по одному куску на С2. Диаграммы S\ и S2 можно склеить по участ­ ку границы с меткой wt. Обозначим полученную диаграмму 5| U S2. Для кольцевой диаграммы S\ u S2 повторяем уже приведенные выше рас­ суждения и строим диаграмму S3 с меньшим, чем в S 2 числом областей. Оче­ видно, что продолжая этот процесс мы либо придем к диаграмме, метка внут­ ренней границы которой R, 7? - несократима, либо получим диаграмму из трех или двух областей (т.е. на внутренней границе будет записано слово н >0 с наи­ меньшим числом кусков равным 1 или 2). Рассуждения, проведенные при дока­ зательстве леммы 3 позволяют построить слово v, сопряженное vv 0 или w02, лю­ бая степень которого R, R - несократима. 2, Пусть в w 2 есть длинное Л-сокращение, но теперь полоса П не является полосой 1-го типа. Рассуждая как и при доказательстве леммы 6 получим слово v, v ~к'2, любая степень которого R, R - несократима. Лемма 10 доказана полностью. Лемма 11. Пусть слово w представляет в группе G элемент бесконечного порядка, циклически R, R- несократимо вместе со своим квадратом. Тогда лю­ бая степень слова w R, R- несократима. •• ч ... КйЯОЧОКЭ/ . .V. 4 т.' « W i > ■ Доказательство. Пусть в слове w", п> 2 есть R - сокращение. Приклеим к отрезку Т, на котором написано слово w" деновскую область D, соответст­ 113