АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

образующий С0 е {с^.с^,, с ч }. Поэтому т(Л/,) с Я , х(М2 ) с Я , более то­ го, т (Л /,)сЯ с, £ = ±1; т (М ,)с [/, либо т(Л/2)с Я _ ,, возможно, что т(Л/2) содержится как в Я ,, так и в Яч . Допустим, что т(г) <£ Я , тогда t(z) = BQt4 В, В , , где В0 (SЯС|, 5, г Я_Е>. Кроме того, В0 е х(Л/,), В, ет(Л /2), так как т(г) выбираем мини­ мальным в смежном двойном классе т(Л/, )т(г)т(А/,). Рассмотрим соотношения: t ( z )_ i t ( u ,) t ( z ) = t ( v i ) , t ( z )_ i t ( h 2) t ( z ) = t ( v 2). (2) Пусть т(н,) - ut\ х (v,) = v,, r(z) = г . Тогда имеем: в;'гв;', ...г^Во'йА^'в, ... в• =v(, ,-=й . (з> Если * >1, В0 *1, и так как В0 £Я е), и | z ' li<1.z |^ |v i |, где |v, |<1, то B q 'й,В0 е Яе|, где и, е ЯЕ|, что следует из соотношения: т(А/,) с Я, ЛЯ_,; так как и ц Ва1/ц * Я Е|ЯЕ], и Во’н,В0 е Я Е, то на основании индуктивного пред­ положения rang(< м,, ы2 >) < 1. Пусть В0 = В, =... = В ). = 1, У< л; пусть y = j ; z ~ t x h, АбЯ .с и s > l ; тогда соотношение (1) примет вид: h~]t~№u,l№h = v,. Введем обозначение /~ы = и„. Слова uis е М(1 =<au ,ba ,...,da >, где ав = Г “ а,Гв . . =t~u d0tu . По предположению /г е Я .с и подгруппы х(М(1),т(М2)б Я .,. Допустим, что B e Я_,. Тогда соотношения В""1ййfc= v(> / = 1,2 должно выполняться в свободной группе Я .,, что невозможно, так как слова й(1 и v, содержат разные образующие. Пусть Ве Яч . Тогда Ве Я ,. Следовательно А= В( ,...,см ч ), то есть сц содержится в слове И, и поэтому, так как х{М1х),х(Мг) е Я .,, то 11