АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

свободное сокращение. Это противоречие доказывает ошибочность предполо­ жения о наличии области D0 типа /)3 в диаграмме М0. Лемма 5 доказана. Таким образом, доказано, что в результате конечного числа d - преобра­ зований диаграммы М, индуцированных короткими деновскими областями, по­ лучается диаграмма М0 с меткой <р(дМо) = wq " : ||wo|| = ||w|[, w 0 ~ w в группе G и в Mo нет деновских областей. Можем считать далее, что в диаграмме М с меткой (рфМ) = w " нет де­ новских областей, а слово w" R - несократимо. Определение 10. Пусть в диаграмме М с граничной меткой <р(дМ) ш w" к есть полоса П. Назовём П полосой первого типа , если: 1) П=У Д , /=1 <f(dD\) = <{tdDk) - слова с начальным подсловом ср(<Ю\ПдМ) = <р(5Дп ЗАО; 2) <з((ЗА и Д и , . . <jDk. i) п ЗАО* w*. Пусть в диаграмме М есть полоса П первого типа. Рассмотрим следую­ щие случаи: 1. \<f(dD\ п 3Z)j)| < |^ ((З Д п ЗП) \ дМ)\. Тогда полосу П можно замкнуть: с учетом обозначений определения 4, склеив совпадающие участки рёбер <p(dD\ п ЗД ) и <f{{pDk п ЗП) \ ЗА/)- Метка внутренней границы полученной кольцевой диаграммы, слово и", равно 1 в группе G. Следовательно, существует связная односвязная диаграмма М\, (fidMx) = и", причём первичными вершина­ ми на дМ\ являются вершины внутреннего замкнутого цикла первоначальной кольцевой диаграммы. Нетрудно видеть, что данная диаграмма не содержит ни деновских областей, ни полос. Следовательно, и" е R. 2. Случай \<p(dD\ п З Д ) |> |$э((ЭДп ЗП) \ дМ)\ аналогичен предыдущему. 3. В случае | <p(dD] n 3D2)| = \<p((dDk п ЗП) \ ЗА/)|, склеив соответствующие рёбра (ЗД п ЗП)\ЗМ, получим диаграмму, на внутренней границе которой за­ писано слово и": и - w и ||u|| < ||w|| и применимо индуктивное предположение. 106