АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

получаем, что <p(dD) - требуемое в теореме соотношение кручения. 2. Далее считаем, что D е D ", т > 3. Рассмотрим слова и, a <p(dDndM), в <p(dD\ дМ), тогда <pidD) =ихи и пусть w £ а,а2 . . . а„, где ||в,||=1, 2.1. Пусть | */|| < |w| и w* s w„ Обозначим через wj s w„u' w тогда w* - w\ в группе G, но ||vt')|| < ||w*|| (т.к. D e Д3) и, по индуктивному предполо­ жению, для W| верно утверждение теоремы. 2.2. Пусть |w| < | «i| < 2|w|. Пусть <p(dD п дМ) = wSvi, где rv(- подслово в слове w*, представим w* £ И’|Г|. Рассмотрим R £ ( wik ) m '* = (wt«)wiri и R* ^w*{W[U) s и'|Г|(и' 1 м). Вновь либо ( wim ) w * £W*( wiu ) и , по лемме 1, w* в sf, а (p(dD) = s', р < t - требуемое в теореме соотношение кручения, либо W| - кусок. Так как wxuw* = 1 в группе G, то w* = (и^и)'1. Рассмотрим кольцевую диаграм­ му К, которая содержит п копий области Д приклеенных к окружности с мет­ кой W" по участкам с метками (w*)'n. Диаграмма К имеет внешнюю и внутрен­ нюю граничные метки (w*)"", (wiu)” соответственно, причем на внутреннюю границу диаграммы К нельзя подклеить ни полосу, ни деновскую область без ■; Г 1 . У Л и противоречия, либо с условием Т(4), либо с несократимостью слов из R. 2.3. Пусть и\ = (*v*)*wi, где 1> 1 и |и>|| < |w|. Тогда либо ]| w*|| = 1 - проти­ воречит условию леммы, либо по лемме 1 , существует такое слово s, что w* ~ / ,р > 1 и <p(dD) s s', р < /. Лемма 4 доказана. Определение 7. Пусть <р(дМ) в w" и в диаграмме Месть деновская область Д причём | <p(dDп дМ)\ < |w|. Назовём d - преобразованием диаграммы М пре­ образование где Мо - диаграмма с меткой <р(дМо}= w,“"; слово wi полу­ чается из слова w заменой подслова щ =<po(dDn,dM) словом u s <pLidD\dM)' Обозначим через М и диаграмму, полученную из присоединением п копий D \ . . . , Д области D с метками <p(dD‘) £ <p(dD), приклеенных к участкам dD\dM карты, имеющим метку и. Определение 8. Пусть в диаграмме М[у есть деновская область Д со свой­ ством |<pfaD| 0 3 A/Qi|<jB'i|. Тогда рассматриваются диаграммы (Л/0)д , 103