АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

что либо вершина А внутренняя степени 3, либо слова из R сократимы. IL2. Пусть теперь n=Dt^jrhyj . . . uD t, где к>2. Как и в предыдущем пункте получаем те же противоречия. Рассмотренными случаями исчерпываются все возможные ситуации рас­ положения полосы в диаграмме М. Таким образом, если диаграмма М удовле­ творяет условиям леммы 3, то в ней не может быть R- сокращений. Лемма 3 доказана. Считаем далее, что ||w|| =т, т > 1. Лемма 4. Пусть w - слово из условия теоремы. Пусть М - связная одно­ связная приведённая диаграмма с граничной меткой <р(дМ) = w". Пусть диа­ грамма М содержит деновскую область D tD \ . Тогда справедливо утвержде­ ние теоремы 1 . Доказательство. Проведем доказательство индукцией по числу кусков I H I в слове и>. Если ||w|| = 1 , то утверждение следует из леммы 3. Поскольку w ~ w* и [|w*|| < |(w||, то считаем, что ||w*|| = ||w|| = ш, причем т - наименьшее возможное для w. 1. Пусть D - граничная область и D е D” , т > 4. 1.1. Допустим, что \<р<дП)\ < |w], т.к. \\<p(?iD)\\ > 4, то слово w заменяем рав­ ным ему в группе G словом wj, где ||vt>i|| < ||w||. Для слова w, по индуктивному предположению справедливо утверждение теоремы 1 . 1.2. Если \<p(dD)\ = |w|, то w=l в группе G, что противоречит условиям теоремы. 1.3. Пусть |w>| < \<p(dD)\ < 2|и'|. Тогда <p(dD) = w’V i, где \V\ - подслово в слове w*. Представим w* = м>\Г[. Рассмотрим слова R г , и R* = W|W,rj. То­ гда либо ||м>||| =1, но т.к. w* = w ,'1 в группе G, то к слову и>, можно применить лемму 3, либо R =R*, и, по лемме 1, W|ri = w\ = sq и <p(dD) m f " 4- требуемое в теореме соотношение кручения, при этом i f = w* ~ w. 1.4. Если \<p(dD)\ > 2|>v|, то либо ||w|| = 1 , либо, как и в предыдущем случае