АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Пусть G =<t,a,b,...,d, c; r(t,a,...,c)> . Если допустить, что r(t,a,b,...,d,c) « с" (* - графическое равенство), то справедливость теоремы следует из теоремы 2. Пусть теорема справедлива для всех групп с одним определяющим соот­ ношением, для которых | r(t, я ,.... с) | < и (символ | | обозначает длину слова в свободной группе). Докажем данную теорему для групп, у которых длина определяющего со­ отношения r(t,a,...,c ) равная. Будем считать, что r ( t , с) начинается на с и все образующие группы G содержатся в г; г - циклически несократимо. I. Пусть ст, (г(/,..., с)) = 0. (а) Рассмотрим случай, когда М у, М г не содержат г. М, =< a, b,...,d >, М2 =< b,...,d,c> . Представим G в виде ЯЛТУ-расширения: G =<t, H\rel Я ,t~'U,t = С/_, >, где Я =< я;,.... Ь,-,.... d ;, (г е2 ),сц..... с м ; S0 > , S0 =S0 ( ..., ,..., см , я0 d v). |S0 I< " . U I =<c*i,...,bi,...,di,;..,Cp,...,cM_„ ieI> , u_t =< я ,,..., 6,,..., dj ,..., см+|,..., с м , (/' е 2)> и Г'я,Т = я,+1, Г V = Ь,+1,...,f = d ^ . r 'c j t = с/+1, где \i< j< M . Пусть г е б таково,что МхгМ2 ФМ 1М2 и гяи^(г'|М|гПЛ^2) > ^ и пусть Зм,,и2 еЛ /,, соответственно, 3v, ,v2 е Л/2 таким, что rang <ut,u2 >= 2, rang < v,,v2 >= 2 и z '^ iz e v ,, : ' iu 22 € v 2, (1) Подгруппы MUM2 зададим в новых образующих. Обозначим через х(М :) - подфуппы М :, i = 1,2, в новых образующих: т(А/, )=<a0,b0,...,d0 >, т (М2)=< b0,...,d0,c 0 >. В силу выбора r(t,a,...,c ) ( r(f,...,е) начинается на с) 10