Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

элементами ¿V »•••» • Обозначим £ ' /7 У2 - У • У является идеалом . Тогда £ ' / У = У '*■ # ■ /& е У * . Так как вое элементы ^ / У —♦ £ ¿ + & = € ¿ входят в вС / V- /б | то ' *■ / 2 / У - - * Алгебра У конечно порождена. Идеал У локально разрешимый идеал алгебры У / Пусть У С - другой локально разрешимый идеал, / / - образ / / при гомоморфизме У ' — »■ У? / / У . Тогда / У - локально разрешимый идеал конечномерной пояупростой_алгебры ¿С- / / У = ¿У .По лемме, /-/ =• СУ Тогда / У с . У . Следовательно, V наибольший локально разрешимый идеал. Согласно теореме I 3 7 , V - разрешимый идеал. По теореме Бахтурина ¿г е ? 7 существует подалгебра У - алгебры У ' изоморфная алгебре У * . Поскольку е полупроота, а У /О /? - - локально разрешимый идеал, то по лемме У - У ) & . ~ О Докажем, что аС ~ ( У + & - Так как У подалгебра в У , а ¿2 идеал в £■ , то по теореме об изоморфизмах У / С & + ~ Г У £ + /¿У> У — р 1 * & . , Но ¿ 2 /? У = О . Значит, У д? С У + & ) / П , . Так как У У У * =г э С / Х2 , т о имеем С У + & ) / £ - ~ ¿ У & , ¥>■ У - сюръективный гомоморфизм, то е сть для всех £ & У найдется р 6 £ ( У такой, что = С у - У - Из теоремы Бахтурина У с З 7 следует, что & + ¿ > / 2 - - У * . Тогда справедливы равенства д у- & — С &- • * ¿ - 0 ^ а - ''д «1 У У 1 & * ^ '= ? ' у ?9