Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

ТЕОРЕМА I . Пусть У - обобщенно специальная алгебра Ли над полем У \ . характеристики нуль, /2 - локально разрешимый идеал, ¿ С //в - - конечномерная полупростая алгебра Ли, Тогда существует полупростая конечномерная подалгебра У алгебры •£• такая, что У представима в виде полупрямой суммы У - У <£) Х 2 , ТЕОРЕМА 2 . Пусть У - обобщенно специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль, допускающая разложение в виде Л - 6 ? (£> / 2 . , где /2 локально разрешимый радикал, а & - полупростая конечномерная подалгебра. Тогда, какова бы ни была полупростая конечномерная подалгебре алгебры У , найдется специальный автоморфизм У - ¿ г,) алгебры У , такой, что < У ^ (У- , где отображение ¿¿-¿У «5- - нильпотентно. Теорема I является перенесением теоремы Бахтурина Ю.А. на случай обобщенно специальных алгебр Ли с использованием док азательства. При доказательстве теоремы 2 применяется доказательство теоремы Мальцева-Херии-Чандре ¿~4'-7 и работы ¿ ГУ Х . ЛЕММА. Пусть ¿52" “ конечномерная полупростая алгебра Ли, у - локально разрешимый идеал (Я ' . Тогда /в- -= с? ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / , . . . . . / ь - базис У * Алгебра . , порожденная элементами у г , . . . , У * \ разрешима. Следовательно, У . ~ У - разрешимый идеал. Значит, У = с? ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ I По условию У - расширение / 2 при помощи , где У / У — < У * полупростая конечномерная алгебра Ли. Пусть с\ е - базис У л . Докажем, что расширение У ? расщепляемое. Рассмотрим подалгебру У ' 1 порожденную