Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

Таким образом, число элементов, входящих в это объединение и от­ личных от I , равно » - > ^ - 1 ) , и дополнение в группе Е этого объединения состои т из и элементов. Поскольку = = Г\ Ы Н ,"1 - = 1 для любого ^ (V, , то <Ь •= » сравнивая число элементов \Ъ и Ем. , находим, что Е> = 0>1 . Итак, Еэ '4 1 . = 9 \ • Нам достаточ ­ но п ок азать , что если ^ ^ , то е Е> для в сех сх&-А . А это действительно так , потому что ф 4 *»'1 , Лемма доказана. б) Е - И . Тогда всякий элемент из Сг , не двигающий , не двигает и е 2 . Пусть ^ - произвольный элемент из Сг , причем е ,. . Существует элемент V, «г И , такой что - = И поэтому , т . е . %!.£= Н З Н с : р • Следовательно, Сг = Е Таким образом, мы доказали, что подгруппа группы Сг , по­ рожденная множеством Н о ( где Сг - такой эл е - мннт, что е , , совпадает с Сг Приступим к доказател ьству нашей теоремы. Существуют лишь четыре подструктур ! структуры 1 _ 0 , содер­ жащих 1_о : 1_„ > 1 _ „ , Е 0 и{.е *Л , |'4г- {_€,$. Теорема будет полностью доказана, если мы установим, что существуют в точности четыре подгруппы-группы Сг , содержащих И : группы Сг . н , С гС П О , С г(М а .) • Пусть р - подгруппа Сг , содержащая И Возмои- ны 5 случаев. I ) . Любой элемент из р не двигает ни , ни Тогда по определению И : р : 2 ) . В группе р есть - И . . . элемент, двигающий как е с , , так и . Т огд а, по уже доказанному, р - О 3 ) . Б группе р нет элементов, двигающих , но есть элемент ^ , двигающий . Очевидно, что в этом случае р е = . С г (МО ; покажем, что вер­ но и обратное включение. Пусть &,.<=: Сг(гл^) , З ^ Н . Тогда + и поэтому существует элемент и Н > такой, что - . Имеем теперь: ^ поэтому 4 = И . ^ = V. ^ 4 ) . Б группе Р нет элементов, двигающих € ? г , но есть 96