Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

Но это противоречит нашему условию, что 1И ( •? . Следо­ вательно, в группе £ найдется элемент £ , для которого 4 е-г. или е ^ 4 А это значит, что Р = Сг . Предположим теперь, что ЯЛ* - 0 - 1 ( а значит^ ,1Дг = -р 1 ^ ) , Обозначим через .1? подгруппу элементов из Сг , не двига­ ющих е * . (но, возможно, двигающих ) . Ясно, что £ ^ Ц . Рассмотрим д за случая: а ) Р * Н . Пусть для элемента 4 & И, выполняются соотношения , 4 4 е , . , дс-,. е * • Обозначим через С» подгруппу элементов из £ , не двигающих & • Ясно, что Со П И - 1 . Если - произволь­ ный элемент из £ , то у х - , , *■■» е г и существует ^ \-\ такой, что а '" , а * 'п' 1" = Зг , т . е . 4 . =. с. и . Таким образом, £ = С , И , Ясно, что груш а £ д ействует транзитивно на элементах г & 1 — , где йг ^ е а , 2 : 4 . 0 , . Действительно, если с «г-Со , 0 * 1 > то е г 4 « » (ас., и поэтому для любого 2 & 1 _ , существует ^ Н , так что © £ и = 2 . Стационарная подгруппа элемента (с«гСо ,с* 1 ) в группе £ р а в н а . с 1 И с . С другой стороны, вое неединич­ ные элементы группы И двигают . Поэтому сг'-НсП Н - 1 для в с е х с ег С« , с. 4 4- • Яак показывает следующая ниже лем­ ма 4, и . это единственное место, где используется конечность'труп^ пы &- , из это го следует, что С 0 - нормальная подгруппа . . Я частности , С „ —УС Со V» для в се х V» «г- И } и Сй не двигает в се элементы ^> > иегИ , т . е . все элементы а & 1 _ , а , а 4 ^ 4 ес,+ в а . , 1 .Н о элементы о с, е±.,ос-» е * Со тоже не дви гает и, следовательно, С 0 с : 7^1 , т . е . И а +ОА* Это значит, что случай а) невозможен. Ш 4 . Если Е - конечная группа, А , ГЬ - такие ее подгруппы, что Е = : А Ъ , А п Г Ъ - 4 - , причем для любого £ е г В , С ^ 1 . , пересечение подгрупп А и *=» А 1 » ' *- является единичной подгруппой, то (Ъ нормальная подгруппа & . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ™ - порядок А , я - поря­ док (Ъ ; то гд а порядок £ равен по >п . Далее, если £ (Ь , £ 1 . 4 ^ , ТО О А££ Л О А £ £ = О ( А П(£ 0 * ) А (£1 *»г) 0 ¿1 - _ с , ^ {_,£ - 4 . Следовательно, объединение всех групп Ь А (включая А Я состоит из I и у \ попарно непересекающихся множеств ( С А £ 1 \ 1 ) , состоящих кащпое из ел - 1 элементов. 94