Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

подгруппы, что U - нормальный делитель С*- , ¿Ьаъ< - i Сг - cb И . причем для любых неединичных элементов Ыл_,иг «г 'Ll существует единственный элемент J <ь¿Ь такой, что - иг . ьсли существует такой автоморфизм © группы Сг , что И инвариантная^относительно © подгруппа Сг , и для всякого cl е ¿Ь J - о ! 1 (mo J И ) , то ot> - группа порядка I , г или б, а 'Ll - соответственно группа порядка й, 3 или нецик­ лическая группа четвертого порядка. Покажем, что для группы F ■ выполняются условия этой тео­ ремы. Пусть Uj. и Uz - произвольные неединичные элементы из И . -ак как для любого Wfr'U , u * l , имеют место соотношения =Ф » ТО существуют такие элементы и .0 ^ ^1. Q, Ц из Н \ что ~ e ta* = . Если то слемвнт «г Н , U i . Имеем, что e<Ul Ч и р _ е ^ ‘ Wl ül - e í ‘ W u f i = # ег (гак как иначе Q¿L- « i S e * , е £ * е „ . но Лтак> U ^ V , 2 . é tUi = откуда еле,дует, что =1 Покажем, наконец, что р = e iUl‘ V' )> т . е . для элемента f 1 u» VI1U í^ er'p это противоречит нашему предполо жению, > т *®- ^ Ч и : 1 = U l t H , иг - ^ u J w • Но 1Д > а LA - нормальная подгруппа р . Поэтому про­ ектируя равенство на И - F / U . получим: i-V -iA » Vi*.= »«*.*■ и, следовательно, Ul= |¿*-Ut К£ . Е с л и U*- гДе Н > то Z ~ ИЛИ 0 Аи^ЬЦ"*1 __ 9 т.э. Ц г Ц , . нормализуется t , т . е . t F t ‘ v<=F. Действительно так как © * * « = = е «= * е , , то для некоторого •лемента Ufe И : = е ^ 1' . Аналогично на д е т с я элемент и.ьЦ так что e i t i - • Имеем, что я ь ц4 * 4 ~ » £ * е * *■ - . Аналогично показнва- ’ е тся , что = е 2 . Это значит, что & t F04 t 3 * u , ^ ( и - Ч о ) а - 1- fe и . т . е . 1 Г Ч . = ± V, = Uo . Тогда V/= W 3 L fer H И = |r> S i l fe. F . Поскольку ь г = i- » то t a - t * 1- (fe F . Кроме ТОГО, для любого U tr и 't U f c " 1' i V, 1 e f j и так как F порождается U i o M t F © c F . В качестве автоморфизма группы F , удовлетворяющего усло­ виям вышеприведенно теорема мо.мо взять отображение; Q '■ Р ___ .> г? ДЛЯ которого 0 ( ? ) - t ^ f 1 , £ р ‘ г Э'аким образом, в с е ‘ условия »той теоремы выполняются и с л -т о - ватольно, порядок группы И че больше трех.