Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

то Д0КАЗА1ЕЛЬСТВО. Пусть 1 иг. 4 1 . ^ З^^Сг Предположим сначала, что е * 1- 4 . Ясно, что , так как в противном случае и,. &т И , и поскольку г и* - С г - Н , причем \-А А "ЬиНа. = 1 . - а где 2 ¿-.-зс-. , г -# з с , , то Кг = 1 . , что неверно. По условию теоремы существует элемент & Ц такой что е -”*1 - ^ ¡ л , . т .е . - © , . Коли то ; * и, следовательно, 3^ €г Н ( « 1 ^ 0 . Если 4 . ( То, ПЛ СГ ЬКУи,ие ^ ^ е г ’ ч е с т в у е т элемент \*г & И такой,’ что - З 1 иг 1 . АвтОМОрфИЭМ &* Ц^1,МГ* е ’ 1 - <5 где v,;1 u il е- ц оставляет на месте © 4 и е ал и потому ^ у $1 : Ц 4'Д 1 ( Ч Ч '11Ц1 \ ,Д 1) ( Р 1 и1 Ц ь „ а . Коли е 1 - € \ , но е , А4 ©а. , то для некоторого Й е * = © 1 ,Лв , т .е ., = е . г и т . е . 9ц. е- И (ДДТД). А т ак , Сг = И (111 . Второе утверждение леммы очевидно. Пусть теперь для элемента £ & Сг е ^ е 2 и р подгруппа Сг , порожденная множеством Ц и ’-(з\ ! Мы хотим д о к а за ть , что Р = (V ^ 0 Предположи, что ( а значит, Ь г Ф О -Ь ) . ^ Покажем, что если для некоторого элемента Р *- = е , . , &г * * то Р = Сг . Действительно, пусть 9 ± - произ- вольный элемент из - Сг . Предположим, что *=4. - ^4. *--г-т------------ у -^-1 - хп. (е сл и Ф © з. , то для некоторого Ц ь И ■ е ^ 1-- е 4ц е®1-1''1'3' 1 - е и вместо Зи рассмотрим элемент 3 1 = Сг).1 Если ~ е ^ = е 4 ю 9± ег И сг р Если же е * 1 щ= е г , то для некоторого имеем: ■ ^ * ¡ 1 - и потому е и . ~а 1 ’ „ *: пото у а * \ н Ч : 1 е: н , Т . е . J l f e H ^ l C р , Итак, ^ t ' Аналогично показывается, что если в р есть э л е - “ 5НТ „ П F = Cr . редположим, что в р нет элементов \ таких, что 1 L ’ Т, е Л Ф е <- , е ^ - е г . Обозначим через Ц пересечение V i W i П F . Ясно, что F /ц -5с И и более то го , поскольку И с F то tr l i n , ■, 7 Ч70 Н П Ц - i Г ’ ° •= ^ ^ * l{P°Me Т0Г0 имеем, ..аботе [ I ] доказана следующая теорема о полупрямых рас­ ширениях. н Г .^ ^ , Л у с.ь Сг - группа, <gt> и' 'Ll - такие ее *л