Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

такой антиавтоморфизм Т: , что е * . - ©г. , • и Дл^ любых ^ , и «^И справедливо соотношение ( и з к) ь » (ь о * )'" '1' . Тог­ д а , если Б- конечна и порядок И больше тр ех, то для любой подгруппы р группы Сг , содержащей И , выполняется со ­ отношение СгСЬЛР)) - Р , а для любой подструктуры П струк­ туры I содержащей структуру = { о , 1.,ас.,ос_+ е г] - 1_о(А(Н))=М. \ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что подгруппа группы 6- , порожденная множеством Н и { . 1 1 , совпадает с Сг . Пред­ варительно сформулируем некоторые тривиальные свойства группы Сг . ЛЕША I . Для любого '• э с * = о с , (= с+ е г )* = ос-» е г . Кроме то го , о с* - > Сэс+ = э с * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Элементы ос, и п с + в г . являются единствен­ ными элементами в структуре, обладающими свойством: они отличны от О и I и с ними сравнимы более одного элемента, отличные от О и I . Поэтому они переходят друг в друга при антиавтоморфизме и не двигаются при автоморфизме. Обозначим через U k подгруппу группы Сг , состоящую из автоморфизмов Uv , таких, что £ и' = Йг для всех а через U k - подгруппу таких элементов и*. , что г 1 = г для всех г , ЛЕША 2 . V ic и l i i - нормальные подгруппы G- , при этом ¡i'-'U i.t - T k , V e t = 'U i,и любой элемент k f e Ъ к пере­ становочен с любым элементом «г. fc Т -к • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 4- " произвольный элемент из Сг Ясно, что если о с & * , то ^ « поэтому при лю­ бом u , fr V , . имеем: ^ ^ ■, ^ « * * т - 0 * fc и T Jk - нормальная подгруппа Сг . Аналогично доказывается, что и Т Л - нормальная подгруппа Сг . Далее, если ос t * , то поскольку t -антиавтоморфизм, + ^ ^ и для любого и*, fc 1Аг имеем 'А 1 ~ ^ i ■£ t з с -е fc 3 т . е . t U t f ’- f c 'U i . Аналогично, если ТО г t-4- ( * * e 2 ) t 'k ОС И г t vUi = 2 г ^ . г для любого и *.<=- ТА с . 1акнм образом, ФГ^ТА;!^ <= Т к «• следе вательно, к *1 ^ *- ^ ^ г . Остальные утверждения леммы очевидны. ^ ЛЕША 3. Если ( «ли, что равносильно, 1А, к 1-Ь / , 91