Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

( 7 . 7 ) | 3 | = 8 , ( Л , 2) - I , ( £ , 2) » I ; ( 7 .8 ) Щ = 2-4, ( а . 6 ) - I , ( ¿ 5 . 2 ) - ! . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай ( 7 . 3 ) рассмотрен в Г З ] , следствие Э С С ) , ( ¿ О , Рассмотрим случай ( 7 . 6 ) , и пусть выполняется условие ¿ " Ч ё = а гу + 1 2 . ( I ) Полагаем в лемме 7 р ( + I , р 2 = £ , 4 «= 1 2 . Так как ( Я • Ч ? Г > то - тогда \ ° * ~ р Л ) р » Далее, если ё + ё = ё ( ё + ¿)~:3, то из ( I ) 3 I р , Если * е З } (>(4+1), то ( 4 - -/) : 3 , и в любом случае ( ё 3 - ё ) $ 3 . Следовательно, ( ё г- 4 ) <?, ■ 1 2 . и выполняется условие ( 7 .2 ) леммы 7 . Остальные случаи доказываются аналогично, причем при доказа­ тельстве ( 7 , 7 ) и ( 7 .8 ) пользуемся тем , что при нечетном ё одно из чисел / + ё и ё 2~ в кратно 2 , а другое кратно <*. ЛЕММА 8 (см . И . лемма 5 ) , ТЬчка р < - ^ несвободна, если сушеотвуют такие целые ненулевые числа р х , р л , о , 3 , что ё / д , р , р г I у , £ = или ё * = а Ъ + 4 и вы­ полняется одно из условий: ( 8 . 1 ) р х = /т, ( т о с ( 6 ), р . Ф р х ) ( 8 .2 ) Ртв & р ( т с с / 6 ) ; ( 8 . 3 ) р , ё ^ р х ( ^ о с / 3). СЛЕДСТВИЕ 8 .1 (см . С З ] , следствие I ) , Точка / л - ^ н есво­ бодна, если существуют такие целые ненулевые числа ¿х , ¿Л 3 , что , ¿ 1 / гЦ , ¿ ¿ 1 р . и выполняется одно из условий ¿* 3 ¿ 7 % ^ б), / = ¿7 /, Д 5, причем если л - I , то £ 5* Д £ , СЛЕДСТВИЕ 8 .2 (см . СЭ ] , оледотвие 2 ) . Точна ^ не­ свободна, если существуют такие целые ненулевые числа ^ , 9 !, 3 , что ¿ 4 3 , ё * = а гу + 1 , ¿, 1 Ф Л , ^ 1^. и выполняется одно из условий ^ = С Г% 4 ( ю о < / з ;, 4 = (7, /, Д Д ¿!) причем если & • 1, то Ц Ф р р . г ^ЮМА 9 (см . Г З ] .л ем м а I ) . Пусть ¿7 - четное число. Если / = ¿ / ( м о с / ~ ) и ё ф { , то точка несвободна. Переходим теперь к доказательству основного р е зу л ь та та . Гфи этом пользуемся также тем фактом, что из несвободы данного ри следует несвобода 3 3 для всех натуральных П. . ТГОРЕМА 1 0 . Рациональные числа М = , где 1 м \ < 2 , несво­ бодны. у 80