Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

УДК 512, 54 Ю.А.ИГНАТОВ Тульский пединститут РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕСВОБОДНЫЕ ТОЧКИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ. ЧАСТЬ Ш Точка ^ комплексной плоскооти называется свободной, если дробно-линейные преобразования ( 1 / ч и В » / 1 0 ) 10 I/ V. " I/ расширенной комплексной плоскости являются свободными образующими порожденной ими группы Известно, что свободны все действительные и при \и\^ 2 , а несвободные значения расположены всаду плотно в интервале ( - 2 , 2 ) . Предполагается, что все рациональные ^ в этом интервале несвободны, но этот факт установлен только для чисел вида и - 4 - , где \а \^ 3 , Для 1а\ & 4 это доказано в [ 5 ] , для И « 5 незави­ симо в Г 4 ] и [ I ] , для 1 о 1 = 6 , 7 независимо в [ I ] и [ ЭJ , для 1а1= 8 независимо в Ш и [ 2 ] , для |С?|- 9 в [ Э ] . Кроме это го , в [ 2 ] р езультат доказан для и - . / МИ а настоящей с т а т ь е , являющейоя продолжением одноименных ст а ­ тей С П и [ 2 ] , доказана несвобода рациональных чисел вида \у“ \<2. Для Доказательства будут использованы следующие результаты , установленные в [ I ] и [ 2 ] . ЛЕША I . Если для данного комплексного / ( существует после­ довательность ненулевых целых чисел Я, , (\2 , ...(н а зы в а ем а я по­ луопределяющей) такая, что для последовательности г„ , х 1 , г называемой детерминированной и построенной по правилу » О, х , = /, Хс„ = Х^и + х(_,, ¿.{,1, ..., получаем на некотором шаге - О, П > б , то точка и является несвободной. ^ ТЕОРЕМА 2 . Рациональные чиола вида / < = , г д е Ы < ; ? , являются несвободными. ЛЕША 3 . Пусть / » - 3- , 1 \^\<2 , (аУ) = У , ы и V _ це_ лые числа, удовлетворяющие уравнению а ги + V - / густь выполняется одно из следующих условий: ( 3 . 1 ) Ы - I, 2 , 4, 5 , 6 ; (3. 2) |Г|. 3, \и1>3) ( 3 . 3 ) |г1 - 9 , а и $ нечетны, 1 и 1 > г/ ; 7в