Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

отличные от I элементы, поочередно принадлежащие то группе 1 р ( с ) , то г р М , Если то д , - степень с , поэтому ^ «^ Х , если же гр(г{) , то у, - отепень сС , поэтому начинается и кон­ чается элементами из У; значит при сделанных выше предположе­ ниях относительно слово Ср , ... рп, имеет слоговую дли­ ну (относительно представления С = X *- У) гп^ 2 , что проти­ воречит раиенству р , . . . « 1 . Поэтому (*■ * ( с ) * грСс/). Если д » 3 , то с 3= { , <^=7, значит, С имеет в <5 порядок 3 , с( имеет в С порядок 2 , ибо в противном случае гр(с)={ 1 } или 1 р(с(.)'*{ 1 } , но тогда О - циклическая группа, что невоз­ можно , так как С? = А * В и IА!=> |В1 ^ 2 . Окончательно получаем, что <? = < с, с1 Ц с3= /, откуда легко сл едует, что |А| * 3 , IВ I = 2 . Если п * 4 , то соотношение [ в ~ ' а ,а ~ * 0 > ,а)С11] = { в влечет в С? равенство [ ¿ *С} С~ 2 (с Р 'Р )с г] = /, а поэтому и равенство С~ 3 Ы сг с( 'с *с( ( 1 с ( - 1 , отсюда уже нетрудно получить, что с г ~ 1 (в противном случае ( { с Ч ^ с Ч ^ с Ч имеет относительно представления 6? ■= X ^ У слоговую длину > 7 ) . Итак, при И = 4 в группе (} получаем Ы 3- 1 , = 1 , поэтому = Ч * |А| = 3 , |В| = 2 . Так как при П = 3,4 существует гомоморфизм группы В а на группу , то любая позитивная формула Ф , истинная на группе Вп , будет истинна на груш е 4 4 , поэтому в силу результата Сакер- дота[9 ] ф истинна на свободной группе Г, ранга 2 . В свою очередь, груш а В п - гомоморфный образ группы Рг. , поэтому позитивная формула, истинная на группе , истинна и на груш е Вп . Значит, при П. = 3 ,4 груш а ВА позитивно эквивалентна группе , то е с т ь на Е „ и Гг истинны одни и те же пози­ тивные формулы. Попытка распространения этого результата на группы Вп при Ь встречает трудности, как показывает нижесигадую- щая теорема. 73